( \mathbf{6} pontos ) Considere a função
f(x, y)=2 x^{4}+y^{2}-x^{2}-2 y .
(a) Determine as derivadas parciais de f.
(b) Determine os pontos críticos de f.
(c) Determine a matriz Hessiana de f.
(d) Calcule o valor do determinante da matriz Hessiana em cada ponto crítico encontrado no item (b).
(e) Classifique os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2x^{4}+y^{2}-x^{2}-2y
e pede: (a) as derivadas parciais, (b) pontos críticos, (c) matriz Hessiana, (d) determinante da Hessiana em cada ponto crítico e (e) classificação desses pontos. O conteúdo é cálculo de extremos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e teste da Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Para isso derivamos em relação a x tratando y como constante, e em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}-x^{2}+y^{2}-2y\bigr) =8x^{3}-2x
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{4}-x^{2}+y^{2}-2y\bigr) =2y-2

Passo 3

Para achar os pontos críticos igualamos \nabla f=(0,0):
8x^{3}-2x=0 \;\Longrightarrow\;2x(4x^{2}-1)=0 \;\Longrightarrow\;x=0\quad\text{ou}\quad x=\pm\frac12,
2y-2=0 \;\Longrightarrow\;y=1.
Logo os pontos críticos são
(0,1),\quad\Bigl(\tfrac12,1\Bigr),\quad\Bigl(-\tfrac12,1\Bigr).

Passo 4

Agora determinamos a matriz Hessiana H_f, cujos elementos são as segundas derivadas parciais:
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}(8x^{3}-2x) =24x^{2}-2, \quad f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}(8x^{3}-2x)=0,
f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}(2y-2)=0, \quad f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}(2y-2)=2.
Portanto
H_f(x,y) =\begin{pmatrix} 24x^{2}-2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

O determinante da Hessiana é
D(x,y) =\det H_f(x,y) =(24x^{2}-2)\cdot2 - 0 =2\,(24x^{2}-2) =48x^{2}-4.
Avaliamo-lo em cada ponto crítico:
- Em (0,1):
D(0,1)=48\cdot0^{2}-4=-4<0.
- Em \bigl(\pm\tfrac12,1\bigr):
D\bigl(\tfrac12,1\bigr) =48\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-4 =48\cdot\tfrac14-4 =12-4=8>0.

Passo 6

Usamos o critério da Hessiana:
- Se D<0, temos ponto de sela.
- Se D>0 e f_{xx}>0, temos mínimo local.
Em (0,1) D<0, logo é ponto de sela.
Em \bigl(\pm\tfrac12,1\bigr) D>0 e
f_{xx}\!\bigl(\pm\tfrac12,1\bigr) =24\cdot\tfrac14-2=6-2=4>0,
logo são mínimos locais.

Resposta

(a) \displaystyle f_x=8x^3-2x,\quad f_y=2y-2.
(b) Pontos críticos: (0,1),\;(\tfrac12,1),\;(-\tfrac12,1).
(c) Hessiana:
H_f(x,y) =\begin{pmatrix} 24x^{2}-2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.
(d) Determinantes:
D(0,1)=-4,\quad D\bigl(\pm\tfrac12,1\bigr)=8.
(e) Classificação: (0,1) ponto de sela; (\pm\tfrac12,1) mínimos locais.

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