(a) Determine as derivadas parciais de f.
(b) Determine os pontos críticos de f.
(c) Determine a matriz Hessiana de f.
(d) Calcule o valor do determinante da matriz Hessiana em cada ponto crítico encontrado no item (b).
(e) Classifique os pontos críticos de f.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=2x^{4}+y^{2}-x^{2}-2y
e pede: (a) as derivadas parciais, (b) pontos críticos, (c) matriz Hessiana, (d) determinante da Hessiana em cada ponto crítico e (e) classificação desses pontos. O conteúdo é cálculo de extremos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e teste da Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f. Para isso derivamos em relação a x tratando y como constante, e em relação a y tratando x como constante:
Usamos o critério da Hessiana:
- Se D<0, temos ponto de sela.
- Se D>0 e f_{xx}>0, temos mínimo local.
Em (0,1) D<0, logo é ponto de sela.
Em \bigl(\pm\tfrac12,1\bigr) D>0 e