( \mathbf{6} pontos) Calcule a integral dupla
\iint_{R} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A
onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=144 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA
onde R é o setor do primeiro quadrante limitado pelo círculo x^{2}+y^{2}=144 e pelos eixos coordenados.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para transformar a integral.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e a região R vira
0 \le r \le 12,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
Logo a integral fica
\iint_{R} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{12} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro a parte radial:
\int_{0}^{12} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazendo u = r^{2} implica du = 2r\,dr, então
\int_{0}^{12} r\,e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{144} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-e^{-u}\Bigr]_{0}^{144} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-144}\bigr).

Passo 4

Agora a parte angular é imediata:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando os dois resultados, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\int_{0}^{12} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-144}\bigr) = \frac{\pi}{4}\bigl(1 - e^{-144}\bigr).

Resposta

\boxed{\frac{\pi}{4}\bigl(1 - e^{-144}\bigr)}

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