( \mathbf{6} pontos) Calcule a integral
\iiint_{\mathcal{B}} x y z d V
em que
\mathcal{B}=[1,4] \times[0,3] \times[2,6]

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{\mathcal{B}} x\,y\,z\,dV
sobre o paralelepípedo
\mathcal{B} = [1,4]\times[0,3]\times[2,6].
Como a função f(x,y,z)=x\,y\,z é contínua em \mathcal{B} e o domínio é um retângulo em \mathbb{R}^3, podemos separar a integral em produto de três integrais simples.

Passo 2

Aplicando a separabilidade, escrevemos
\iiint_{\mathcal{B}} x\,y\,z\,dV =\Bigl(\int_{1}^{4}x\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{3}y\,dy\Bigr) \Bigl(\int_{2}^{6}z\,dz\Bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{1}^{4}x\,dx:
\int_{1}^{4}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{1}^{4} =\frac{16}{2}-\frac{1}{2} =\frac{15}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{3}y\,dy:
\int_{0}^{3}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{3} =\frac{9}{2}-0 =\frac{9}{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{2}^{6}z\,dz:
\int_{2}^{6}z\,dz =\Bigl[\tfrac{z^2}{2}\Bigr]_{2}^{6} =\frac{36}{2}-\frac{4}{2} =16.

Passo 6

Multiplicando os resultados parciais, obtemos
\Bigl(\tfrac{15}{2}\Bigr)\times\Bigl(\tfrac{9}{2}\Bigr)\times16 =\frac{15\cdot9\cdot16}{4} =\frac{2160}{4} =540.

Resposta

540

Exercícios relacionados