1. ( \mathbf{2 , 0} pontos) Considere a função:
f(x)=x^{4}-\operatorname{sen}(x)-\ln (x)
Resolva f(x)=0, usando o método da bisseção com intervalos iniciais [1,15; 1,19]. Erro absoluto abaixo de \mathbf{1 , 0} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{2}}. (trabalhar com 4 casas decimais). Fazer 2 iterações. calcule o erro relativo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
f(x)=x^{4}-\operatorname{sen}(x)-\ln(x)=0
usando o método da bisseção com o(s) intervalo(s) iniciais indicados [1,15; 1,19] (i.e., os extremos a=1,15 e b=1,19). Os requisitos adicionais são: erro absoluto abaixo de \,1{,}0\times 10^{-2}, trabalhar com 4 casas decimais, fazer 2 iterações e calcular o erro relativo.
Informações fornecidas (listadas claramente):
  • Função: \;f(x)=x^{4}-\operatorname{sen}(x)-\ln(x).
  • Intervalo inicial pedido: [1,15; 1,19] (interpretei como [1{,}15,\,1{,}19]).
  • Tolerância solicitada: erro absoluto <1{,}0\times 10^{-2}.
  • Pedem 2 iterações e cálculo do erro relativo.

Passo 2

Pequena aula prática sobre o método da bisseção (passo a passo e fórmulas que vamos usar).
  • Ideia: bissecção trabalha com um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0). Então existe pelo menos uma raiz em (a,b) e podemos dividir o intervalo ao meio repetidamente.
  • A cada iteração calculamos o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Testamos o sinal de f\text{(c)}. Se f(a)\cdot f\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c]; caso contrário (se f\text{(c)}\cdot f(b)<0) a raiz está em [c,b]. Repetimos.
  • Estimativa do erro absoluto após n iterações (bound) é
\text{erro}_{\text{abs}}\le \frac{b-a}{2^{n}}.
Aqui b-a é o comprimento do intervalo inicial.
  • Erro relativo aproximado entre duas aproximações sucessivas x_{k-1} e x_k (usado comumente) é
\text{erro}_{\text{rel}}\approx \left|\frac{x_k-x_{k-1}}{x_k}\right|.
Vamos usar essa fórmula para o erro relativo pedido (com x_1 e x_2 sendo os midpoints das iterações 1 e 2).
Observação importante: o método só pode começar se houver troca de sinal em [a,b]. Se f(a) e f(b) tiverem o mesmo sinal, o método da bisseção não é aplicável a esse intervalo.

Passo 3

Avalio f nos extremos do intervalo fornecido para verificar a condição de início do método (isto foi retirado diretamente do enunciado: a=1{,}15 e b=1{,}19). Vou trabalhar com 4 casas decimais nas avaliações intermediárias, conforme pedido.
Calculemos passo a passo (todos os números em 4 casas decimais):
  • Primeiro x=1{,}15: x^{4}=1{,}15^{4}=1{,}7490\quad(\text{arred. 4 casas})
\operatorname{sen}(1{,}15)\approx 0{,}9128
\ln(1{,}15)\approx 0{,}1398
Logo
f(1{,}15)=1{,}7490-0{,}9128-0{,}1398=0{,}6965.
  • Agora x=1{,}19: x^{4}=1{,}19^{4}=2{,}0053\quad(\text{arred. 4 casas})
\operatorname{sen}(1{,}19)\approx 0{,}9284
\ln(1{,}19)\approx 0{,}1740
Logo
f(1{,}19)=2{,}0053-0{,}9284-0{,}1740=0{,}9030.

Passo 4

Interpretação do resultado das avaliações: \;f(1{,}15)=0{,}6965>0 e \;f(1{,}19)=0{,}9030>0. Como os dois valores têm o mesmo sinal, temos
f(1{,}15)\cdot f(1{,}19)>0.
Conclusão direta: não existe troca de sinal no intervalo [1{,}15,\,1{,}19], portanto NÃO É POSSÍVEL aplicar corretamente o método da bisseção nesse intervalo inicial — o método exige f(a)\cdot f(b)<0. Logo, com os dados exatamente como fornecidos, não se pode executar as iterações pedidas. (Estou sendo rigoroso: é um requisito básico do método.)

Passo 5

Para não deixar você sem prática (e porque você pediu 2 iterações e o cálculo do erro relativo), vou escolher um intervalo alternativo claro onde há troca de sinal e então executar as 2 iterações pedidas, explicando tudo — isto é uma sugestão prática do que fazer na prova se, por acaso, o enunciado tivesse outro intervalo ou se fosse permitido ajustar o intervalo inicial.
Escolho o intervalo [0{,}80,\,1{,}00] porque já vemos que nele há troca de sinal (vou mostrar as avaliações):
  • f(0{,}80): 0{,}80^{4}=0{,}4096,\quad \operatorname{sen}(0{,}80)\approx 0{,}7174,\quad \ln(0{,}80)\approx -0{,}2231,
f(0{,}80)=0{,}4096-0{,}7174-(-0{,}2231)=0{,}4096-0{,}7174+0{,}2231=-0{,}0846.
(Portanto f(0{,}80)<0.)
  • f(1{,}00): 1{,}00^{4}=1{,}0000,\quad \operatorname{sen}(1{,}00)\approx 0{,}8415,\quad \ln(1{,}00)=0{,}0000,
f(1{,}00)=1{,}0000-0{,}8415-0{,}0000=0{,}1585.
(Portanto f(1{,}00)>0.)
Como f(0{,}80)\cdot f(1{,}00)<0, há pelo menos uma raiz em [0{,}80,\,1{,}00]. Vou executar 2 iterações da bisseção nesse intervalo, como você pediu.

Passo 6

Execução das 2 iterações da bisseção no intervalo [0{,}80,\,1{,}00]. Vou anotar a e b e os midpoints x_k (usar 4 casas decimais nas avaliações).
Iteração 1:
  • a_{0}=0{,}80,\; b_{0}=1{,}00.
  • Ponto médio x_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{0{,}80+1{,}00}{2}=0{,}90.
  • Avaliação (já calculada parcialmente): 0{,}90^{4}=0{,}6561,\quad \operatorname{sen}(0{,}90)\approx 0{,}7833,\quad \ln(0{,}90)\approx -0{,}1054,
f(0{,}90)=0{,}6561-0{,}7833-(-0{,}1054)=0{,}6561-0{,}7833+0{,}1054=-0{,}0219.
  • Sinal: f(0{,}90)<0. Como f(0{,}90) e f(0{,}80) têm o mesmo sinal (ambos negativos), a raiz está no subintervalo [0{,}90,\,1{,}00]. Logo novo intervalo: a_{1}=0{,}90,\quad b_{1}=1{,}00.
Iteração 2:
  • Ponto médio x_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=\frac{0{,}90+1{,}00}{2}=0{,}95.
  • Avaliação: 0{,}95^{4}=0{,}8145,\quad \operatorname{sen}(0{,}95)\approx 0{,}8134,\quad \ln(0{,}95)\approx -0{,}0513,
f(0{,}95)=0{,}8145-0{,}8134-(-0{,}0513)=0{,}8145-0{,}8134+0{,}0513=0{,}0524.
  • Sinal: f(0{,}95)>0. Como f(0{,}90)<0 e f(0{,}95)>0, após 2 iterações o intervalo que contém a raiz é [0{,}90,\,0{,}95]. A aproximação corrente (o último midpoint) é x_{2}=0{,}95.

Passo 7

Cálculo do erro estimado e do erro relativo pedido (com as convenções que discutimos):
  • Estimativa do erro absoluto (bound) após n=2 iterações, usando o intervalo inicial [0{,}80,\,1{,}00] de comprimento b-a=0{,}20:
    \text{erro}_{\text{abs}}\le \frac{b-a}{2^{2}}=\frac{0{,}20}{4}=0{,}05.
    Observação: isso significa que a aproximação x_{2}=0{,}95 está a, no máximo, 0{,}05 da raiz verdadeira; portanto a tolerância exigida \,1{,}0\times 10^{-2} (i.e., 0{,}01) NÃO foi alcançada com apenas 2 iterações nesse intervalo.
  • Erro relativo aproximado entre x_{1}=0{,}90 e x_{2}=0{,}95 (fórmula usada em Passo 2):
    \text{erro}_{\text{rel}}\approx\left|\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}}\right| =\left|\frac{0{,}95-0{,}90}{0{,}95}\right| =\frac{0{,}05}{0{,}95}\approx 0{,}0526.
    Ou seja, aproximadamente 5{,}26\%.

Resposta

Não é possível aplicar o método da bisseção no intervalo [1{,}15,\,1{,}19], pois f(1{,}15)=0{,}6965 e f(1{,}19)=0{,}9030 têm o mesmo sinal.
Usando o intervalo alternativo [0{,}80,\,1{,}00] (onde há troca de sinal) e executando 2 iterações, a aproximação obtida foi x_{2}=0{,}95.
Estimativa do erro absoluto após 2 iterações: \le 0{,}05 (logo a tolerância 10^{-2} não foi atingida).
Erro relativo aproximado entre as iterações: 0{,}0526 (≈ 5{,}26\%).

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