Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
a) \sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2} (Dica: Use que 2 k-1=
\left.k^{2}-(k-1)^{2}\right)
b) \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2} (Dica: Use o item anterior)
c) \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\left(\right. Dica: k^{3}-(k-1)^{3}= 3 \mathrm{k}^{2}-3 \mathrm{k}+1 )
d) \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos quatro fórmulas fechadas para somas finitas envolvendo potências de k. As perguntas são:
a) Mostrar que \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}.
b) Mostrar que \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}.
c) Mostrar que \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}.
d) Mostrar que \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}.
Informações relevantes dadas (dicas do enunciado):
  • Para (a) usar que 2k-1 = k^{2}-(k-1)^{2}.
  • Para (c) usar que k^{3}-(k-1)^{3}=3k^{2}-3k+1.
  • Podemos usar resultados anteriores para calcular somas posteriores (por exemplo, usar resultado de (a) para (b), etc.).

Passo 2

Explicação da técnica que vamos usar (telecópica) — aula rápida e amigável:
A soma telescópica funciona quando um termo genérico pode ser escrito como diferença de dois termos consecutivos, ou seja, quando temos algo como
a_k = b_k - b_{k-1}.
Então
\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k-1}) = b_n - b_0,
porque os termos intermediários cancelam ( b_1-b_0 + b_2-b_1 + \dots + b_n-b_{n-1} ). É uma técnica super útil em prova porque reduz a soma a uma diferença simples. Vamos aplicá-la onde as dicas indicam.

Passo 3

Parte (a): provar que \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}.
Usando a dica, escrevemos cada termo como diferença de quadrados:
2k-1 = k^{2}-(k-1)^{2}.
Agora somamos de k=1 até k=n:
\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = \sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{2}-(k-1)^{2}\bigr).
Pelo efeito telescópico, os termos internos cancelam:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{2}-(k-1)^{2}\bigr) = n^{2} - 0^{2} = n^{2}.
Portanto chegamos a
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}.
Comentário prático: na prova, assim que veres 2k-1 podes lembrar imediatamente do telescópio com quadrados — é padrão.

Passo 4

Parte (b): provar que \sum_{k=1}^{n} k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}.
Vamos relacionar a soma dos k com a soma dos ímpares do item (a). Note que
\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1.
Explico: multiplicando e somando, \sum (2k-1) = 2\sum k - \sum 1, e \sum_{k=1}^{n}1 = n. Usando o resultado de (a) \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}, temos
n^{2} = 2\sum_{k=1}^{n} k - n.
Agora isolamos \sum_{k=1}^{n} k:
2\sum_{k=1}^{n} k = n^{2} + n,
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^{2}+n}{2} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}.
Dica de prova rápida: muitos decoram \sum k = \frac{n(n+1)}{2}; aqui mostramos a mesma coisa reorganizando a soma dos ímpares.

Passo 5

Parte (c): provar que \sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}.
Começamos da identidade dada:
k^{3}-(k-1)^{3} = 3k^{2}-3k+1.
Somamos ambos os lados de k=1 até k=n:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{3}-(k-1)^{3}\bigr) = \sum_{k=1}^{n} (3k^{2}-3k+1).
No lado esquerdo há telescópio:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{3}-(k-1)^{3}\bigr) = n^{3} - 0^{3} = n^{3}.
No lado direito podemos separar as somas:
\sum_{k=1}^{n} (3k^{2}-3k+1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^{2} - 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1.
Substituímos \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^{2}+n}{2} (do passo anterior) e \sum_{k=1}^{n}1 = n. Assim:
n^{3} = 3\sum_{k=1}^{n} k^{2} - 3\cdot\frac{n^{2}+n}{2} + n.
Agora isolamos \sum_{k=1}^{n} k^{2}. Primeiro simplificamos os termos constantes:
-3\cdot\frac{n^{2}+n}{2} + n = -\frac{3n^{2}}{2} - \frac{3n}{2} + n = -\frac{3n^{2}}{2} - \frac{n}{2}.
Então:
n^{3} = 3\sum_{k=1}^{n} k^{2} -\frac{3n^{2}}{2} - \frac{n}{2}.
Passando os termos para o outro lado:
3\sum_{k=1}^{n} k^{2} = n^{3} + \frac{3n^{2}}{2} + \frac{n}{2}.
Dividindo por 3:
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}.
Observação prática: agora tens uma fórmula para \sum k^{2} que dá números inteiros quando n é inteiro — dá gosto ver isso funcionando!

Passo 6

Parte (d): provar que \sum_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}.
Estratégia: usar uma soma telescópica para a diferença de quartas potências e depois substituir os resultados anteriores. A identidade é
k^{4}-(k-1)^{4} = 4k^{3}-6k^{2}+4k-1.
Somamos de k=1 a n:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{4}-(k-1)^{4}\bigr) = \sum_{k=1}^{n} (4k^{3}-6k^{2}+4k-1).
Lado esquerdo telescópico:
\sum_{k=1}^{n} \bigl(k^{4}-(k-1)^{4}\bigr) = n^{4} - 0^{4} = n^{4}.
No lado direito separamos somas:
n^{4} = 4\sum_{k=1}^{n} k^{3} - 6\sum_{k=1}^{n} k^{2} + 4\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n}1.
Agora substituímos as somas que já temos:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2},
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6},
\sum_{k=1}^{n}1 = n.
Substituindo:
n^{4} = 4\sum_{k=1}^{n} k^{3} - 6\left(\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\right) + 4\left(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}\right) - n.
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro o multiplicador de \sum k^{3} fica isolado:
4\sum_{k=1}^{n} k^{3} = n^{4} + 6\left(\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\right) - 4\left(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}\right) + n.
Calculemos os parênteses:
6\left(\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}\right) = 2n^{3} + 3n^{2} + n,
4\left(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}\right) = 2n^{2} + 2n.
Substituindo:
4\sum_{k=1}^{n} k^{3} = n^{4} + (2n^{3} + 3n^{2} + n) - (2n^{2} + 2n) + n.
Agora somamos os termos constantes em n:
(2n^{3}) \text{ fica,}
3n^{2} - 2n^{2} = n^{2},
n - 2n + n = 0.
Então:
4\sum_{k=1}^{n} k^{3} = n^{4} + 2n^{3} + n^{2}.
Finalmente dividimos por 4:
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{4}}{4} + \frac{2n^{3}}{4} + \frac{n^{2}}{4} = \frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4}.
Observação bonita: esta expressão é exatamente \bigl(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}\bigr)^{2}, ou seja,
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2},
o que é uma identidade elegante que às vezes é útil de decorar.

Resposta

a) \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}
b) \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}
c) \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n^{3}}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{6}
d) \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{4}}{4}+\frac{n^{3}}{2}+\frac{n^{2}}{4}

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