Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que:
a)
(Dica: Use que
b)
(Dica: Use o item anterior)
c)
Dica:
)
d)
a)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede que mostremos quatro fórmulas fechadas para somas finitas envolvendo potências de
. As perguntas são:
a) Mostrar que .
b) Mostrar que .
c) Mostrar que .
d) Mostrar que .
a) Mostrar que
b) Mostrar que
c) Mostrar que
d) Mostrar que
Informações relevantes dadas (dicas do enunciado):
- Para (a) usar que
. - Para (c) usar que
. - Podemos usar resultados anteriores para calcular somas posteriores (por exemplo, usar resultado de (a) para (b), etc.).
Passo 2
Explicação da técnica que vamos usar (telecópica) — aula rápida e amigável:
A soma telescópica funciona quando um termo genérico pode ser escrito como diferença de dois termos consecutivos, ou seja, quando temos algo como
A soma telescópica funciona quando um termo genérico pode ser escrito como diferença de dois termos consecutivos, ou seja, quando temos algo como
Então
porque os termos intermediários cancelam (
). É uma técnica super útil em prova porque reduz a soma a uma diferença simples. Vamos aplicá-la onde as dicas indicam.
Passo 3
Parte (a): provar que
.
Usando a dica, escrevemos cada termo como diferença de quadrados:
Agora somamos de
até
:
Pelo efeito telescópico, os termos internos cancelam:
Portanto chegamos a
Comentário prático: na prova, assim que veres
podes lembrar imediatamente do telescópio com quadrados — é padrão.
Passo 4
Parte (b): provar que
.
Vamos relacionar a soma dos
com a soma dos ímpares do item (a). Note que
Explico: multiplicando e somando,
, e
. Usando o resultado de (a)
, temos
Agora isolamos
:
Dica de prova rápida: muitos decoram
; aqui mostramos a mesma coisa reorganizando a soma dos ímpares.
Passo 5
Parte (c): provar que
.
Começamos da identidade dada:
Somamos ambos os lados de
até
:
No lado esquerdo há telescópio:
No lado direito podemos separar as somas:
Substituímos
(do passo anterior) e
. Assim:
Agora isolamos
. Primeiro simplificamos os termos constantes:
Então:
Passando os termos para o outro lado:
Dividindo por
:
Observação prática: agora tens uma fórmula para
que dá números inteiros quando
é inteiro — dá gosto ver isso funcionando!
Passo 6
Parte (d): provar que
.
Estratégia: usar uma soma telescópica para a diferença de quartas potências e depois substituir os resultados anteriores. A identidade é
Somamos de
a
:
Lado esquerdo telescópico:
No lado direito separamos somas:
Agora substituímos as somas que já temos:
Substituindo:
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro o multiplicador de
fica isolado:
Calculemos os parênteses:
Substituindo:
Agora somamos os termos constantes em
:
Então:
Finalmente dividimos por
:
Observação bonita: esta expressão é exatamente
, ou seja,
o que é uma identidade elegante que às vezes é útil de decorar.
Resposta
a)
b)
c)
d)