Resolva:
Se x \cdot \ln (y z)=y \ln (x . z), ache \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
x\cdot \ln(yz)=y\cdot \ln(xz)
e pede para achar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, supondo que z é função de x e y, isto é z=z(x,y).
Informações relevantes:
\;x,y são variáveis independentes; \;z depende de x e y.
As incógnitas são \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Vamos usar diferenciação implícita. Vou anotar abreviadamente
\;z_x=\dfrac{\partial z}{\partial x} e \;z_y=\dfrac{\partial z}{\partial y}.
Lembrete das ferramentas que usaremos:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia para logaritmo: se w=w(x) então \dfrac{d}{dx}\ln w=\dfrac{1}{w}w'.
  • Para funções de duas variáveis, ao derivar em relação a x tratamos y como constante e vice-versa.

Passo 3

Derivamos a equação em relação a x, com y constante. Começo por derivar cada membro.
Para o termo à esquerda \;x\ln(yz): aplicar regra do produto.
A derivada de x é 1 e a de \ln(yz) em relação a x (com y constante) é, usando \ln(yz)=\ln y+\ln z,
\frac{d}{dx}\ln(yz)=\frac{d}{dx}\ln z=\frac{1}{z}z_x.
Portanto, usando produto,
\frac{d}{dx}\big[x\ln(yz)\big]=\ln(yz)+x\cdot\frac{1}{z}z_x.

Passo 4

Agora o termo à direita \;y\ln(xz). Aqui y é constante multiplicando \ln(xz). Derivamos \ln(xz)=\ln x+\ln z em relação a x:
\frac{d}{dx}\ln(xz)=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}z_x.
Multiplicando por y obtemos
\frac{d}{dx}\big[y\ln(xz)\big]=y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}z_x\right)=\frac{y}{x}+y\cdot\frac{1}{z}z_x.

Passo 5

Como a derivada total do lado esquerdo menos a do direito deve ser zero, igualamos:
\ln(yz)+x\cdot\frac{1}{z}z_x=\frac{y}{x}+y\cdot\frac{1}{z}z_x.
Isolamos os termos com z_x:
\ln(yz)-\frac{y}{x}+\left(\frac{x}{z}-\frac{y}{z}\right)z_x=0.
Ou seja
\left(\frac{x-y}{z}\right)z_x=\frac{y}{x}-\ln(yz).

Passo 6

Resolvendo para z_x (isto é \dfrac{\partial z}{\partial x}):
z_x=\frac{z}{x-y}\left(\frac{y}{x}-\ln(yz)\right).
Podemos também escrever \ln(yz)=\ln y+\ln z se preferir, mas a forma acima é mais compacta.

Passo 7

Agora derivamos a equação em relação a y, com x constante.
Derivada do lado esquerdo x\ln(yz) em relação a y: x é constante, e
\frac{d}{dy}\ln(yz)=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}z_y
(pois \ln(yz)=\ln y+\ln z). Assim
\frac{d}{dy}\big[x\ln(yz)\big]=x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}z_y\right)=\frac{x}{y}+x\cdot\frac{1}{z}z_y.

Passo 8

Derivada do lado direito y\ln(xz) em relação a y: aplicar produto (agora y varia):
a derivada é
\frac{d}{dy}\big[y\ln(xz)\big]=\ln(xz)+y\cdot\frac{d}{dy}\ln(xz).
Mas com x constante temos \frac{d}{dy}\ln(xz)=\frac{1}{z}z_y. Logo
\frac{d}{dy}\big[y\ln(xz)\big]=\ln(xz)+y\cdot\frac{1}{z}z_y.

Passo 9

Igualando derivadas (esquerda menos direita = 0):
\frac{x}{y}+x\cdot\frac{1}{z}z_y=\ln(xz)+y\cdot\frac{1}{z}z_y.
Isolando os termos com z_y:
\frac{x}{y}-\ln(xz)+\left(\frac{x}{z}-\frac{y}{z}\right)z_y=0,
ou
\left(\frac{x-y}{z}\right)z_y=\ln(xz)-\frac{x}{y}.

Passo 10

Resolvendo para z_y (isto é \dfrac{\partial z}{\partial y}):
z_y=\frac{z}{x-y}\left(\ln(xz)-\frac{x}{y}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{x-y}\left(\frac{y}{x}-\ln(yz)\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{x-y}\left(\ln(xz)-\frac{x}{y}\right)

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