Resolva:
Se
, ache
e
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede para achar as derivadas parciais
e
, supondo que
é função de
e
, isto é
.
Informações relevantes:
são variáveis independentes;
depende de
e
.
As incógnitas são e
.
Informações relevantes:
As incógnitas são
Passo 2
Vamos usar diferenciação implícita. Vou anotar abreviadamente
e
.
Lembrete das ferramentas que usaremos:
Lembrete das ferramentas que usaremos:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia para logaritmo: se
então . - Para funções de duas variáveis, ao derivar em relação a
tratamos como constante e vice-versa.
Passo 3
Derivamos a equação em relação a
, com
constante. Começo por derivar cada membro.
Para o termo à esquerda
: aplicar regra do produto.
A derivada de é
e a de
em relação a
(com
constante) é, usando
,
A derivada de
Portanto, usando produto,
Passo 4
Agora o termo à direita
. Aqui
é constante multiplicando
. Derivamos
em relação a
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Como a derivada total do lado esquerdo menos a do direito deve ser zero, igualamos:
Isolamos os termos com
:
Ou seja
Passo 6
Resolvendo para
(isto é
):
Podemos também escrever
se preferir, mas a forma acima é mais compacta.
Passo 7
Agora derivamos a equação em relação a
, com
constante.
Derivada do lado esquerdo
em relação a
:
é constante, e
(pois
). Assim
Passo 8
Derivada do lado direito
em relação a
: aplicar produto (agora
varia):
a derivada é
a derivada é
Mas com
constante temos
. Logo
Passo 9
Igualando derivadas (esquerda menos direita = 0):
Isolando os termos com
:
ou
Passo 10
Resolvendo para
(isto é
):