( \mathbf{2} pontos) Considere os seguintes modelos sazonais da forma:
i) \operatorname{SARIMA}(1,1,0) \times(0,0,1)_{6}
ii) \operatorname{SARIMA}(1,0,0) \times(0,1,1)_{3}
a) Escreva-os explicitamente e determine os valores de: p, d, q, P, D, Q e s, para cada um deles;
b) Obtenha a função de previsão dos modelos para \forall h.

Passo 1

O enunciado dá dois modelos sazonais e pede duas coisas para cada um: (a) escrevê-los explicitamente e determinar os valores de p,d,q,P,D,Q,s; (b) obter a função de previsão para todo h. Informação dada (lista clara e direta):
  • Modelo (i): \operatorname{SARIMA}(1,1,0)\times(0,0,1)_{6}.
  • Modelo (ii): \operatorname{SARIMA}(1,0,0)\times(0,1,1)_{3}.
    As perguntas são, portanto:
  1. Para cada modelo, listar p,d,q,P,D,Q,s e escrever a equação do modelo em forma operacional (com operadores B, (1-B), (1-B^s), polinômios \varphi(B),\theta(B),\Phi(B^s),\Theta(B^s)).
  2. Para cada modelo, derivar a expressão da previsão condicional \hat{X}_{t+h|t} para qualquer horizonte h (usar a convenção usual: previsões usam esperança condicional e assumem que inovações futuras têm média zero, i.e., \mathbb{E}[\varepsilon_{t+k}\mid\mathcal{F}_t]=0 para k>0).

Passo 2

Breve aula necessária (didática e passo a passo) sobre a forma geral de um modelo SARIMA e como se obtém previsões:
  • Forma operador padrão: um modelo \operatorname{SARIMA}(p,d,q)\times(P,D,Q)_s pode ser escrito como
\varphi(B)\,\Phi(B^s)\,(1-B)^d(1-B^s)^D X_t = \theta(B)\,\Theta(B^s)\,\varepsilon_t,
onde
  • B é o operador defasagem: B X_t = X_{t-1}.
  • (1-B)^d é a diferenciação não sazonal de ordem d: por exemplo (1-B)X_t = X_t-X_{t-1}.
  • (1-B^s)^D é a diferenciação sazonal (período s) de ordem D: por exemplo (1-B^s)X_t = X_t - X_{t-s}.
  • \varphi(B)=1-\phi_1 B-\phi_2 B^2-\dots é o polinômio AR não sazonal de ordem p.
  • \Phi(B^s)=1-\Phi_1 B^s-\dots é o polinômio AR sazonal de ordem P.
  • \theta(B)=1+\theta_1 B+\dots é o polinômio MA não sazonal de ordem q.
  • \Theta(B^s)=1+\Theta_1 B^s+\dots é o polinômio MA sazonal de ordem Q.
  • Estratégia para previsões:
    1. Aplicar as diferenciações indicadas para transformar X_t na série estacionária (quando d ou D > 0), e trabalhar com a série diferenciada (chamo genericamente de y_t ou similar).
    2. Identificar que, após diferenciação, obtemos um processo ARMA (ou ARMA com MA sazonal). Para previsões, usamos que as inovações futuras têm média zero e as inovações passadas (até t) são conhecidas (ou substituídas por resíduos estimados). Assim a previsão a h passos é obtida por iteração recursiva da equação AR (com termos MA conhecidos quando correspondem a inovações passadas), e fixando inovações futuras iguais a zero.
    3. Tradução para X: depois de prever a série diferenciada, integremos (somamos) as diferenças previstas para voltar à escala de X.
  • Observação prática e útil para prova: a fórmula fechada para previsões de um AR(1) é \hat{y}_{t+h|t}=\phi_1^h y_t quando não há termos MA em índices futuros. Se houver MA com defasagem que caia no passado (por exemplo lag sazonal s tal que t+h-s \le t), esses termos entram como constantes conhecidas na previsão; se caírem no futuro, contribuem zero à esperança condicional. Na prova você pode proceder recursivamente: prever passo a passo usando a equação do modelo, sempre substituindo \varepsilon_{t+k}=0 para k>0.

Passo 3

Aplicando a forma geral ao modelo (i): \operatorname{SARIMA}(1,1,0)\times(0,0,1)_{6}.
  • Determinação dos parâmetros:
    • p=1,\; d=1,\; q=0.
    • P=0,\; D=0,\; Q=1,\; s=6.
  • Escrever explicitamente o modelo na forma operador (usar convenção padrão):
\varphi(B)\,(1-B)X_t=\Theta(B^6)\,\varepsilon_t,
onde \varphi(B)=1-\phi_1 B (AR(1) não sazonal) e \Theta(B^6)=1+\Theta_1 B^6 (MA sazonal de ordem 1 com período 6). Portanto, o modelo escrito é
(1-\phi_1 B)(1-B)X_t = (1+\Theta_1 B^6)\varepsilon_t.
  • Expandindo em domínio temporal (operação útil para ver recursão):
(1-\phi_1 B)(X_t-X_{t-1})=\varepsilon_t+\Theta_1\varepsilon_{t-6}.
Expandindo os produtos:
X_t - X_{t-1} - \phi_1 X_{t-1} + \phi_1 X_{t-2} = \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-6}.

Passo 4

Previsão para o modelo (i) — construir função de previsão para todo h\) (metodologia e fórmula útil para prova): - Passo técnico: defina a série diferenciada não sazonal \[w_t := (1-B)X_t = X_t - X_{t-1}.
Com isso, a equação do Passo 3 fica (em w_t):
(1-\phi_1 B)w_t = \varepsilon_t + \Theta_1 \varepsilon_{t-6}.
Isto é, em forma recursiva:
w_t = \phi_1 w_{t-1} + \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-6}.
  • Previsão condicional: para h\ge1 definimos \hat{w}_{t+h|t}=\mathbb{E}[w_{t+h}\mid\mathcal{F}_t]. Aplicando esperança condicional e usando \mathbb{E}[\varepsilon_{u}\mid\mathcal{F}_t]=0 para u>t, obtemos a recursão de previsão
\hat{w}_{t+h|t} = \phi_1\,\hat{w}_{t+h-1|t} + \Theta_1\cdot\eta_{t+h-6},
onde definimos o atalho
\eta_u := \begin{cases}\varepsilon_u, & u\le t\\ (\text{conhecido / igual ao resíduo}),\\[4pt] 0, & u>t.\end{cases}í
  • Solução fechada (útil na prova): por iteração (prova por indução),
\hat{w}_{t+h|t} = \phi_1^h w_t + \Theta_1 \sum_{j=1}^{h} \phi_1^{\,h-j}\,\eta_{t+j-6}.
Interpretação prática: se t+j-6\le t\] (i.e. \(j\le6) a \eta é um resíduo conhecido; se j>6 a \eta vale 0.
  • Voltando para a série original X: como w_{u}=X_{u}-X_{u-1}, temos a relação de acumulação
X_{t+h} = X_t + \sum_{i=1}^{h} w_{t+i}.
Logo a previsão a h passos é
\boxed{\hat{X}_{t+h|t} = X_t + \sum_{i=1}^h \hat{w}_{t+i|t},}
com \hat{w}_{t+i|t} dado pela fórmula fechada acima. Na prática de prova: calcule \hat{w}_{t+1|t},\hat{w}_{t+2|t},\dots pela recursão (substituindo \eta por resíduos conhecidos quando apropriado e por 0 quando for inovação futura) e some para obter \hat{X}_{t+h|t}.]

Passo 5

Aplicando a forma geral ao modelo (ii): \operatorname{SARIMA}(1,0,0)\times(0,1,1)_{3}.
  • Determinação dos parâmetros:
    • p=1,\; d=0,\; q=0.
    • P=0,\; D=1,\; Q=1,\; s=3.
  • Escrever explicitamente o modelo na forma operador:
\varphi(B)\,(1-B^3)X_t = \Theta(B^3)\,\varepsilon_t,
onde \varphi(B)=1-\phi_1 B e \Theta(B^3)=1+\Theta_1 B^3. Portanto
(1-\phi_1 B)(1-B^3)X_t = (1+\Theta_1 B^3)\varepsilon_t.
  • Expandindo em domínio temporal (útil para ver recursão):
(1-\phi_1 B)(X_t - X_{t-3}) = \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-3},
que dá, ao expandir,
X_t - X_{t-3} - \phi_1 X_{t-1} + \phi_1 X_{t-4} = \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-3}.

Passo 6

Previsão para o modelo (ii) — função de previsão para todo h:
  • Defina a diferença sazonal (ordem D=1, período s=3):
s_t := (1-B^3)X_t = X_t - X_{t-3}.
A equação torna-se (em s_t):
(1-\phi_1 B)s_t = \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-3},
ou recursivamente
s_t = \phi_1 s_{t-1} + \varepsilon_t + \Theta_1\varepsilon_{t-3}.
  • Previsão condicional: para h\ge1 defina \hat{s}_{t+h|t}=\mathbb{E}[s_{t+h}\mid\mathcal{F}_t]. Pela mesma argumentação de esperança condicional e inovações futuras com média zero obtemos a recursão
\hat{s}_{t+h|t} = \phi_1\,\hat{s}_{t+h-1|t} + \Theta_1\cdot\eta_{t+h-3},
com \eta_u definido como no Passo 4 ( \eta_u=\varepsilon_u se u\le t, senão 0).
  • Solução fechada (por iteração):
\hat{s}_{t+h|t} = \phi_1^{\,h} s_t + \Theta_1 \sum_{j=1}^{h} \phi_1^{\,h-j}\,\eta_{t+j-3}.
  • Reconstrução de \hat{X}_{t+h|t} a partir de \hat{s}. Como s_{u}=X_u-X_{u-3}, temos a identidade exata:
X_{t+h} = X_{t+h-3} + s_{t+h}.
Isso dá uma regra recursiva prática para previsões:
  • Para h=1,2,3 a componente X_{t+h-3} refere-se a observações passadas (se t+h-3\le t) e portanto podemos usar valores observados para montar \hat{X}_{t+h|t}=X_{t+h-3}+\hat{s}_{t+h|t}.
  • Para h>3 a componente X_{t+h-3} pode já ser uma previsão; então usamos recursivamente
\boxed{\hat{X}_{t+h|t} = \hat{X}_{t+h-3|t} + \hat{s}_{t+h|t},\quad\text{para todo }h\ge1,}
onde \hat{s}_{t+h|t} é dada pela fórmula fechada acima e, quando t+h-3\le t, \hat{X}_{t+h-3|t}=X_{t+h-3} (valor observado). Na prova: calcule \hat{s}_{t+1|t},\hat{s}_{t+2|t},\dots pela recursão e construa \hat{X}_{t+h|t} usando a relação sazonal de defasagem 3, sempre substituindo inovações futuras por zero.

Resposta

(i) p=1,\;d=1,\;q=0,\;P=0,\;D=0,\;Q=1,\;s=6. Modelo explícito:
(1-\phi_1 B)(1-B)X_t = (1+\Theta_1 B^6)\varepsilon_t.
Previsão (defina w_t=(1-B)X_t e \eta_u=\varepsilon_u se u\le t, senão 0):
\hat{w}_{t+h|t}=\phi_1^{\,h}w_t+\Theta_1\sum_{j=1}^{h}\phi_1^{\,h-j}\eta_{t+j-6},\qquad \hat{X}_{t+h|t}=X_t+\sum_{i=1}^{h}\hat{w}_{t+i|t}.
(ii) p=1,\;d=0,\;q=0,\;P=0,\;D=1,\;Q=1,\;s=3. Modelo explícito:
(1-\phi_1 B)(1-B^3)X_t = (1+\Theta_1 B^3)\varepsilon_t.
Previsão (defina s_t=(1-B^3)X_t e \eta_u como acima):
\hat{s}_{t+h|t}=\phi_1^{\,h}s_t+\Theta_1\sum_{j=1}^{h}\phi_1^{\,h-j}\eta_{t+j-3},
e a reconstrução de X é feita por
\hat{X}_{t+h|t}=\hat{X}_{t+h-3|t}+\hat{s}_{t+h|t}\quad(\text{com }\hat{X}_{u|t}=X_u\text{ se }u\le t).

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