( \mathbf{2} pontos) Considere os seguintes modelos sazonais da forma:
i) \operatorname{SARIMA}(1,1,0) \times(0,0,1)_{6}
ii) \operatorname{SARIMA}(1,0,0) \times(0,1,1)_{3}
a) Escreva-os explicitamente e determine os valores de: p, d, q, P, D, Q e s, para cada um deles;
b) Obtenha a função de previsão dos modelos para \forall h.
Passo 1
O enunciado dá dois modelos sazonais e pede duas coisas para cada um: (a) escrevê-los explicitamente e determinar os valores de p,d,q,P,D,Q,s; (b) obter a função de previsão para todo h. Informação dada (lista clara e direta):
Modelo (ii): \operatorname{SARIMA}(1,0,0)\times(0,1,1)_{3}.
As perguntas são, portanto:
Para cada modelo, listar p,d,q,P,D,Q,s e escrever a equação do modelo em forma operacional (com operadores B, (1-B), (1-B^s), polinômios \varphi(B),\theta(B),\Phi(B^s),\Theta(B^s)).
Para cada modelo, derivar a expressão da previsão condicional \hat{X}_{t+h|t} para qualquer horizonte h (usar a convenção usual: previsões usam esperança condicional e assumem que inovações futuras têm média zero, i.e., \mathbb{E}[\varepsilon_{t+k}\mid\mathcal{F}_t]=0 para k>0).
Passo 2
Breve aula necessária (didática e passo a passo) sobre a forma geral de um modelo SARIMA e como se obtém previsões:
Forma operador padrão: um modelo \operatorname{SARIMA}(p,d,q)\times(P,D,Q)_s pode ser escrito como
(1-B)^d é a diferenciação não sazonal de ordem d: por exemplo (1-B)X_t = X_t-X_{t-1}.
(1-B^s)^D é a diferenciação sazonal (período s) de ordem D: por exemplo (1-B^s)X_t = X_t - X_{t-s}.
\varphi(B)=1-\phi_1 B-\phi_2 B^2-\dots é o polinômio AR não sazonal de ordem p.
\Phi(B^s)=1-\Phi_1 B^s-\dots é o polinômio AR sazonal de ordem P.
\theta(B)=1+\theta_1 B+\dots é o polinômio MA não sazonal de ordem q.
\Theta(B^s)=1+\Theta_1 B^s+\dots é o polinômio MA sazonal de ordem Q.
Estratégia para previsões:
Aplicar as diferenciações indicadas para transformar X_t na série estacionária (quando d ou D > 0), e trabalhar com a série diferenciada (chamo genericamente de y_t ou similar).
Identificar que, após diferenciação, obtemos um processo ARMA (ou ARMA com MA sazonal). Para previsões, usamos que as inovações futuras têm média zero e as inovações passadas (até t) são conhecidas (ou substituídas por resíduos estimados). Assim a previsão a h passos é obtida por iteração recursiva da equação AR (com termos MA conhecidos quando correspondem a inovações passadas), e fixando inovações futuras iguais a zero.
Tradução para X: depois de prever a série diferenciada, integremos (somamos) as diferenças previstas para voltar à escala de X.
Observação prática e útil para prova: a fórmula fechada para previsões de um AR(1) é \hat{y}_{t+h|t}=\phi_1^h y_t quando não há termos MA em índices futuros. Se houver MA com defasagem que caia no passado (por exemplo lag sazonal s tal que t+h-s \le t), esses termos entram como constantes conhecidas na previsão; se caírem no futuro, contribuem zero à esperança condicional. Na prova você pode proceder recursivamente: prever passo a passo usando a equação do modelo, sempre substituindo \varepsilon_{t+k}=0 para k>0.
Passo 3
Aplicando a forma geral ao modelo (i): \operatorname{SARIMA}(1,1,0)\times(0,0,1)_{6}.
Determinação dos parâmetros:
p=1,\; d=1,\; q=0.
P=0,\; D=0,\; Q=1,\; s=6.
Escrever explicitamente o modelo na forma operador (usar convenção padrão):
\varphi(B)\,(1-B)X_t=\Theta(B^6)\,\varepsilon_t,
onde \varphi(B)=1-\phi_1 B (AR(1) não sazonal) e \Theta(B^6)=1+\Theta_1 B^6 (MA sazonal de ordem 1 com período 6). Portanto, o modelo escrito é
Previsão para o modelo (i) — construir função de previsão para todo h\) (metodologia e fórmula útil para prova):
- Passo técnico: defina a série diferenciada não sazonal
\[w_t := (1-B)X_t = X_t - X_{t-1}.
Previsão condicional: para h\ge1 definimos \hat{w}_{t+h|t}=\mathbb{E}[w_{t+h}\mid\mathcal{F}_t]. Aplicando esperança condicional e usando \mathbb{E}[\varepsilon_{u}\mid\mathcal{F}_t]=0 para u>t, obtemos a recursão de previsão
com \hat{w}_{t+i|t} dado pela fórmula fechada acima. Na prática de prova: calcule \hat{w}_{t+1|t},\hat{w}_{t+2|t},\dots pela recursão (substituindo \eta por resíduos conhecidos quando apropriado e por 0 quando for inovação futura) e some para obter \hat{X}_{t+h|t}.]
Passo 5
Aplicando a forma geral ao modelo (ii): \operatorname{SARIMA}(1,0,0)\times(0,1,1)_{3}.
Determinação dos parâmetros:
p=1,\; d=0,\; q=0.
P=0,\; D=1,\; Q=1,\; s=3.
Escrever explicitamente o modelo na forma operador:
Previsão condicional: para h\ge1 defina \hat{s}_{t+h|t}=\mathbb{E}[s_{t+h}\mid\mathcal{F}_t]. Pela mesma argumentação de esperança condicional e inovações futuras com média zero obtemos a recursão
Reconstrução de \hat{X}_{t+h|t} a partir de \hat{s}. Como s_{u}=X_u-X_{u-3}, temos a identidade exata:
X_{t+h} = X_{t+h-3} + s_{t+h}.
Isso dá uma regra recursiva prática para previsões:
Para h=1,2,3 a componente X_{t+h-3} refere-se a observações passadas (se t+h-3\le t) e portanto podemos usar valores observados para montar \hat{X}_{t+h|t}=X_{t+h-3}+\hat{s}_{t+h|t}.
Para h>3 a componente X_{t+h-3} pode já ser uma previsão; então usamos recursivamente
\boxed{\hat{X}_{t+h|t} = \hat{X}_{t+h-3|t} + \hat{s}_{t+h|t},\quad\text{para todo }h\ge1,}
onde \hat{s}_{t+h|t} é dada pela fórmula fechada acima e, quando t+h-3\le t, \hat{X}_{t+h-3|t}=X_{t+h-3} (valor observado). Na prova: calcule \hat{s}_{t+1|t},\hat{s}_{t+2|t},\dots pela recursão e construa \hat{X}_{t+h|t} usando a relação sazonal de defasagem 3, sempre substituindo inovações futuras por zero.