(3 pontos) Considere o seguinte modelo \overline{\operatorname{ARIMA}}(1,1,0) :
(1-0,4 X)(1-X) Z_{t}=a_{t}
onde a_{t} é \mathrm{RB} \backsim N\left(0, \sigma_{a}^{2}\right). Dada as 2 últimas observações de uma série temporal \left\{Z_{t}\right\}: Z_{49}=33,4, Z_{50}=33,9, e \widehat{\sigma}_{a}^{2}=1.
a) Calcule as previsões para \widehat{Z}_{50}(h), h=1,2,3, com origem t=50.
b) Encontre os intervalos de confiança, com \gamma=0,98, para Z_{51}, Z_{52}, Z_{53}, utilizando as previões calculadas em (a), e faça o gráfico das previsões com respectivos intervalos de confiança ( z_{0,99}=2,33 ).
c) Suponha no instane t=51 uma nova observação Z_{51}=34, 1. Encontre as previsões atualizadas para Z_{52} e Z_{53} utilizando: \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+\psi_{h} a_{t+1}, e construa os intervalos de confiança, com \gamma=0,9\left(z_{0,975}=1,96\right).
Obs.: \operatorname{Var}\left[e_{t}(h)\right]=\sigma_{a}^{2} \sum_{j=0}^{h-1} \psi_{j}^{2}, h \geq 1, onde \psi_{0}=1, \psi_{1}=1+\varphi, \psi_{2}= (1+\varphi) \psi_{1}-\varphi.

Passo 1

O enunciado dá o modelo
(1-0,4B)(1-B)Z_{t}=a_{t},
onde a_{t}\overset{\text{RB}}{\sim}N(0,\sigma_a^{2}) e \widehat{\sigma}_a^{2}=1. As últimas observações disponíveis são Z_{49}=33,4 e Z_{50}=33,9. Pede-se:
a) as previsões \widehat{Z}_{50}(h) para h=1,2,3 (origem t=50);
b) intervalos de confiança de nível \gamma=0,98 para Z_{51},Z_{52},Z_{53} usando as previsões de (a) (foi dado z_{0,99}=2,33);
c) supondo que em t=51 foi observada Z_{51}=34,1, atualizar as previsões para Z_{52} e Z_{53} usando \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+\psi_{h}a_{t+1} e construir intervalos com \gamma=0,9 (o enunciado nos dá z_{0,975}=1,96).
Informações relevantes listadas: \varphi=0,4 (pois 1-0,4B), Z_{49}=33,4, Z_{50}=33,9, \widehat{\sigma}_a^{2}=1. Também foi dada a fórmula
\operatorname{Var}[e_t(h)]=\sigma_a^{2}\sum_{j=0}^{h-1}\psi_j^{2},\qquad h\ge1,
e os valores iniciais \psi_0=1,\\ \psi_1=1+\varphi,\\ \psi_2=(1+\varphi)\psi_1-\varphi.

Passo 2

Transformação útil e ideia de previsão (passo didático): defina a série diferenciada
Y_t=(1-B)Z_t=Z_t-Z_{t-1}.
Aplicando isso ao modelo obtemos
(1-0,4B)Y_t=a_t \quad\Longrightarrow\quad Y_t=0,4\,Y_{t-1}+a_t.
Ou seja, Y_t é uma AR(1) com parâmetro \varphi=0,4 e ruído a_t. Isso é útil porque prever Z_{t+h} se faz prevendo os incrementos Y_{t+1},\dots,Y_{t+h} e somando sobre Z_t:
\widehat{Z}_t(h)=Z_t+\sum_{j=1}^{h}\widehat{Y}_t(j).
Para uma AR(1) com média zero e parâmetro \varphi, o preditor h-passos à frente de Y é
\widehat{Y}_t(h)=\varphi^{\,h}Y_t.
Explico rapidinho: isso vem pelo fato de iterar Y_{t+1}=\varphi Y_t+a_{t+1} e tomando esperança condicional com E[a_{t+k}\mid\mathcal{F}_t]=0.

Passo 3

Calcule Y_{50} a partir dos dados fornecidos (essa é informação inicial necessária):
Y_{50}=Z_{50}-Z_{49}=33,9-33,4=0,5.
Agora a previsão h-passos de Y a partir de t=50 é
\widehat{Y}_{50}(h)=\varphi^{h}Y_{50}=0,4^{\,h}\cdot 0,5.
Logo a previsão de Z com origem t=50 é
\widehat{Z}_{50}(h)=Z_{50}+\sum_{j=1}^{h}\widehat{Y}_{50}(j) =33,9+0,5\sum_{j=1}^{h}0,4^{\,j}.
A soma geométrica tem forma fechada
\sum_{j=1}^{h}0,4^{j}=0,4\frac{1-0,4^{h}}{1-0,4}=0,4\frac{1-0,4^{h}}{0,6}.

Passo 4

Calcule as previsões numéricas (faça as contas passo a passo):
  • Para h=1:
\widehat{Z}_{50}(1)=33,9+0,5\cdot 0,4=33,9+0,2=34,10.
  • Para h=2: primeiro \sum_{j=1}^{2}0,4^{j}=0,4+0,16=0,56, então
\widehat{Z}_{50}(2)=33,9+0,5\cdot 0,56=33,9+0,28=34,18.
  • Para h=3: \sum_{j=1}^{3}0,4^{j}=0,4+0,16+0,064=0,624, então
\widehat{Z}_{50}(3)=33,9+0,5\cdot 0,624=33,9+0,312=34,212.

Passo 5

Agora precisamos dos coeficientes \psi_j para calcular as variâncias de previsão. O enunciado deu:
\psi_0=1,\qquad \psi_1=1+\varphi=1+0,4=1,4,
\psi_2=(1+\varphi)\psi_1-\varphi=(1,4)\cdot 1,4-0,4=1,96-0,4=1,56.
Podemos obter \psi_3 pela mesma recorrência implícita \psi_j=(1+\varphi)\psi_{j-1}-\varphi\psi_{j-2} (para j\ge2):
\psi_3=1,4\cdot 1,56-0,4\cdot 1,4=2,184-0,56=1,624.
(para h até 3 precisamos de \psi_0,\psi_1,\psi_2 apenas).

Passo 6

Variâncias dos erros de previsão usando \sigma_a^{2}=1:
\operatorname{Var}[e_{50}(1)]=\sum_{j=0}^{0}\psi_j^{2}=\psi_0^{2}=1.
\operatorname{Var}[e_{50}(2)]=\psi_0^{2}+\psi_1^{2}=1+1,4^{2}=1+1,96=2,96.
\operatorname{Var}[e_{50}(3)]=1+1,96+1,56^{2}=2,96+2,4336=5,3936.
Desvios-padrão correspondentes:
\operatorname{sd}_1=1,\qquad \operatorname{sd}_2=\sqrt{2,96}\approx1,7205,\qquad \operatorname{sd}_3=\sqrt{5,3936}\approx2,322.

Passo 7

Intervalos de confiança para \gamma=0,98: usar z_{0,99}=2,33. O intervalo geral é
\widehat{Z}_{50}(h)\pm z_{0,99}\sqrt{\operatorname{Var}[e_{50}(h)]}.
Calcule as margens:
  • h=1: margem =2,33\cdot 1=2,33. Então
Z_{51}\in[34,10-2,33,\;34,10+2,33]=[31,77,\;36,43].
  • h=2: margem =2,33\cdot 1,7205\approx4,005. Então
Z_{52}\in[34,18-4,005,\;34,18+4,005]\approx[30,17,\;38,19].
  • h=3: margem =2,33\cdot 2,322\approx5,409. Então
Z_{53}\in[34,212-5,409,\;34,212+5,409]\approx[28,80,\;39,62].

Passo 8

Como pediram também o gráfico: instruções práticas (como fazer rápido na prova ou num software):
  • Eixos: eixo horizontal com t=50,51,52,53; eixo vertical com valores em torno de 28 a 40.
  • Plote o ponto de origem Z_{50}=33,9. Para t=51,52,53 plote as previsões \widehat{Z}_{50}(1)=34,10, \widehat{Z}_{50}(2)=34,18, \widehat{Z}_{50}(3)=34,212.
  • Em cada ponto desenhe barra vertical representando o intervalo calculado em

Passo 9

Parte (c): nova observação Z_{51}=34,1. Primeiro calcule o novo incremento e o resíduo:
Y_{51}=Z_{51}-Z_{50}=34,1-33,9=0,2.
Pelo modelo Y_{51}=\varphi Y_{50}+a_{51}, então
a_{51}=Y_{51}-\varphi Y_{50}=0,2-0,4\cdot 0,5=0,2-0,2=0.
Agora aplique a fórmula dada para atualização (com t=50, t+1=51):
\widehat{Z}_{51}(h)=\widehat{Z}_{50}(h+1)+\psi_{h}a_{51}.
Como a_{51}=0, as previsões atualizadas coincidem com as previsões anteriores deslocadas:
\widehat{Z}_{51}(1)=\widehat{Z}_{50}(2)=34,18,
\widehat{Z}_{51}(2)=\widehat{Z}_{50}(3)=34,212.

Passo 10

Intervalos de confiança atualizados: o enunciado pede usar \gamma=0,9 e fornece z_{0,975}=1,96 (usaremos o valor indicado). Para previsões com origem t=51 a variância de h-passos é a mesma forma:
\operatorname{Var}[e_{51}(1)]=1,\qquad \operatorname{Var}[e_{51}(2)]=2,96.
Usando z=1,96:
  • Para Z_{52} (h=1 a partir de 51): margem =1,96\cdot 1=1,96. Então
Z_{52}\in[34,18-1,96,\;34,18+1,96]=[32,22,\;36,14].
  • Para Z_{53} (h=2 a partir de 51): margem =1,96\cdot\sqrt{2,96}=1,96\cdot1,7205\approx3,372. Então
Z_{53}\in[34,212-3,372,\;34,212+3,372]\approx[30,84,\;37,58].

Resposta

(a) \widehat{Z}_{50}(1)=34,10,\\ \widehat{Z}_{50}(2)=34,18,\\ \widehat{Z}_{50}(3)=34,212
(b) Z_{51}\in[31,77,\;36,43],\\ Z_{52}\in[30,17,\;38,19],\\ Z_{53}\in[28,80,\;39,62] (nível \gamma=0,98, z_{0,99}=2,33)
(c) Atualizadas em t=51: \widehat{Z}_{51}(1)=34,18,\\ \widehat{Z}_{51}(2)=34,212 com intervalos Z_{52}\in[32,22,\;36,14],\\ Z_{53}\in[30,84,\;37,58] (usando z_{0,975}=1,96 como indicado).

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