(3 pontos) Considere o seguinte modelo \overline{\operatorname{ARIMA}}(1,1,0) :
(1-0,4 X)(1-X) Z_{t}=a_{t}
onde a_{t} é \mathrm{RB} \backsim N\left(0, \sigma_{a}^{2}\right). Dada as 2 últimas observações de uma série temporal \left\{Z_{t}\right\}: Z_{49}=33,4, Z_{50}=33,9, e \widehat{\sigma}_{a}^{2}=1.
a) Calcule as previsões para \widehat{Z}_{50}(h), h=1,2,3, com origem t=50.
b) Encontre os intervalos de confiança, com \gamma=0,98, para Z_{51}, Z_{52}, Z_{53}, utilizando as previões calculadas em (a), e faça o gráfico das previsões com respectivos intervalos de confiança ( z_{0,99}=2,33 ).
c) Suponha no instane t=51 uma nova observação Z_{51}=34, 1. Encontre as previsões atualizadas para Z_{52} e Z_{53} utilizando: \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+\psi_{h} a_{t+1}, e construa os intervalos de confiança, com \gamma=0,9\left(z_{0,975}=1,96\right).
Obs.: \operatorname{Var}\left[e_{t}(h)\right]=\sigma_{a}^{2} \sum_{j=0}^{h-1} \psi_{j}^{2}, h \geq 1, onde \psi_{0}=1, \psi_{1}=1+\varphi, \psi_{2}= (1+\varphi) \psi_{1}-\varphi.
Passo 1
O enunciado dá o modelo
(1-0,4B)(1-B)Z_{t}=a_{t},
onde a_{t}\overset{\text{RB}}{\sim}N(0,\sigma_a^{2}) e \widehat{\sigma}_a^{2}=1. As últimas observações disponíveis são Z_{49}=33,4 e Z_{50}=33,9. Pede-se:
a) as previsões \widehat{Z}_{50}(h) para h=1,2,3 (origem t=50);
b) intervalos de confiança de nível \gamma=0,98 para Z_{51},Z_{52},Z_{53} usando as previsões de (a) (foi dado z_{0,99}=2,33);
c) supondo que em t=51 foi observada Z_{51}=34,1, atualizar as previsões para Z_{52} e Z_{53} usando \widehat{Z}_{t+1}(h)=\widehat{Z}_{t}(h+1)+\psi_{h}a_{t+1} e construir intervalos com \gamma=0,9 (o enunciado nos dá z_{0,975}=1,96).
Informações relevantes listadas: \varphi=0,4 (pois 1-0,4B), Z_{49}=33,4, Z_{50}=33,9, \widehat{\sigma}_a^{2}=1. Também foi dada a fórmula
Ou seja, Y_t é uma AR(1) com parâmetro \varphi=0,4 e ruído a_t. Isso é útil porque prever Z_{t+h} se faz prevendo os incrementos Y_{t+1},\dots,Y_{t+h} e somando sobre Z_t:
Como pediram também o gráfico: instruções práticas (como fazer rápido na prova ou num software):
Eixos: eixo horizontal com t=50,51,52,53; eixo vertical com valores em torno de 28 a 40.
Plote o ponto de origem Z_{50}=33,9. Para t=51,52,53 plote as previsões \widehat{Z}_{50}(1)=34,10, \widehat{Z}_{50}(2)=34,18, \widehat{Z}_{50}(3)=34,212.
Em cada ponto desenhe barra vertical representando o intervalo calculado em
Passo 9
Parte (c): nova observação Z_{51}=34,1. Primeiro calcule o novo incremento e o resíduo:
Como a_{51}=0, as previsões atualizadas coincidem com as previsões anteriores deslocadas:
\widehat{Z}_{51}(1)=\widehat{Z}_{50}(2)=34,18,
\widehat{Z}_{51}(2)=\widehat{Z}_{50}(3)=34,212.
Passo 10
Intervalos de confiança atualizados: o enunciado pede usar \gamma=0,9 e fornece z_{0,975}=1,96 (usaremos o valor indicado). Para previsões com origem t=51 a variância de h-passos é a mesma forma:
(c) Atualizadas em t=51: \widehat{Z}_{51}(1)=34,18,\\ \widehat{Z}_{51}(2)=34,212 com intervalos Z_{52}\in[32,22,\;36,14],\\ Z_{53}\in[30,84,\;37,58] (usando z_{0,975}=1,96 como indicado).