( 2,5 pontos) Suponha o modelo
. Onde
.
a) Estimar
e
utilizando o método de mínimos quadrados condicional a
.
Table 1: b) Suponha a série temporal:\captionsetup{labelformat=empty}
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.4
-0.9
-0.8
-0.8
-0.2
-0.3
-0.6
0.3
0.3
0.8
Encontre as estimativas de
e
. Sugestão: Encontre a estimativa de
utilizando a
.
a) Estimar
Table 1: b) Suponha a série temporal:
\captionsetup{labelformat=empty}
| t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
|
-0.4 | -0.9 | -0.8 | -0.8 | -0.2 | -0.3 | -0.6 | 0.3 | 0.3 | 0.8 |
Passo 1
O enunciado dá um modelo
com
, e pede duas coisas:
- (a) Estimar
e pelo método de mínimos quadrados condicional a . - (b) Para a série temporal fornecida (valores tomados da tabela do enunciado para
):
encontrar
.
Informações relevantes dadas:
- Temos
observações . - O estimador é condicional a
: isso implica que a soma de quadrados a minimizar é feita para (ou seja, pares ). - A sugestão diz para estimar
por , onde é a soma dos quadrados dos resíduos.
A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Derivação das fórmulas através de mínimos quadrados condicionais (aula curta e passo a passo).
Nós minimizamos a soma dos quadrados dos resíduos para
:
Explicação: estamos ajustando uma regressão linear de
em
com intercepto
, usando apenas os pares
para
.
As equações normais (derivando
em relação a
e
e igualando a zero) são:
Definindo
(neste caso
), escrevemos médias sobre
:
A partir das equações normais obtemos as fórmulas clássicas de regressão OLS (na notação
):
e
Explicação das variáveis nas fórmulas:
-
é a média dos para . -
é a média dos para . - O numerador de
é a covariância amostral entre e (com denominador na definição intermediária); o denominador é a variância amostral de .
Observação: este é exatamente o problema de ajustar uma retapor mínimos quadrados aos pontos .
Depois de obter
e
é fácil obter
usando a relação
, logo
Para estimar
calculamos os resíduos ajustados para
:
a soma dos quadrados dos resíduos é
e, conforme o enunciado, usamos
com
neste problema (portanto dividir por
). Observação didática: em regressão linear com
observações e
parâmetros estimados, o estimador usual divide por
; aqui estamos usando a convenção dada pelo enunciado que resulta em divisão por
.
Passo 3
Cálculo dos somatórios e médias usando os dados da tabela (estou explicitando que peguei os valores da tabela do enunciado).
Formamos os pares
para
. Assim
e
Agora calculamos as somas necessárias (todas somas sobre
):
Soma das
:
Soma das
:
Médias:
Soma dos quadrados de
:
Soma dos produtos
:
Agora as somas centradas:
Portanto o estimador de
é
E o estimador de
é
(Resumo numérico intermediário:
,
.)
Passo 4
Estimativa de
usando
.
Calculamos
Explicação rápida: como
é o deslocamento estacionário
, ao isolar
obtemos essa fórmula direta.
Passo 5
Cálculo dos resíduos e da soma dos quadrados dos resíduos
.
Resíduos para
:
Cálculo numérico (usei
e
):
Agora os quadrados e a soma:
Assim
Passo 6
Estimador de
conforme a sugestão do enunciado:
Usando
e a sugestão de dividir por
,
Arredondando para 4 casas decimais quando apropriado obtemos
.