( 2,5 pontos) Suponha o modelo \operatorname{AR}(1): Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t}. Onde \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
a) Estimar \varphi e \theta_{0} utilizando o método de mínimos quadrados condicional a Z_{1}.
Table 1: b) Suponha a série temporal:
\captionsetup{labelformat=empty}
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
\mathrm{Z}_{t} -0.4 -0.9 -0.8 -0.8 -0.2 -0.3 -0.6 0.3 0.3 0.8
Encontre as estimativas de \widehat{\mu}, \widehat{\varphi}, \widehat{\sigma}_{a}^{2} e \widehat{\theta}_{0}. Sugestão: Encontre a estimativa de \sigma_{a}^{2} utilizando a S Q\left(\widehat{\varphi}, \widehat{\theta}_{0}\right) /(n-2).

Passo 1

O enunciado dá um modelo \operatorname{AR}(1)
Z_{t}=\varphi Z_{t-1}+\theta_{0}+a_{t},
com \theta_{0}=\mu(1-\varphi), e pede duas coisas:
  • (a) Estimar \varphi e \theta_{0} pelo método de mínimos quadrados condicional a Z_{1}.
  • (b) Para a série temporal fornecida (valores tomados da tabela do enunciado para t=1,\dots,10):
\begin{array}{c|cccccccccc} t & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\hline Z_t & -0,4 & -0,9 & -0,8 & -0,8 & -0,2 & -0,3 & -0,6 & 0,3 & 0,3 & 0,8 \end{array}
encontrar \widehat{\mu},\widehat{\varphi},\widehat{\sigma}_a^{2},\widehat{\theta}_{0}.
Informações relevantes dadas:
  • Temos n=10 observações Z_1,\dots,Z_{10}.
  • O estimador é condicional a Z_1: isso implica que a soma de quadrados a minimizar é feita para t=2,\dots,10 (ou seja, m=n-1=9 pares (Z_{t-1},Z_t)).
  • A sugestão diz para estimar \sigma_a^2 por SQ(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_0)/(n-2), onde SQ é a soma dos quadrados dos resíduos.
A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Derivação das fórmulas através de mínimos quadrados condicionais (aula curta e passo a passo).
Nós minimizamos a soma dos quadrados dos resíduos para t=2,\dots,n:
SQ(\varphi,\theta_{0})=\sum_{t=2}^{n}\bigl(Z_t-\varphi Z_{t-1}-\theta_{0}\bigr)^2.
Explicação: estamos ajustando uma regressão linear de Y_t=Z_t em X_t=Z_{t-1} com intercepto \theta_0, usando apenas os pares (Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,n.
As equações normais (derivando SQ em relação a \varphi e \theta_{0} e igualando a zero) são:
\sum_{t=2}^n \bigl(Z_t-\varphi Z_{t-1}-\theta_{0}\bigr)=0,
\sum_{t=2}^n Z_{t-1}\bigl(Z_t-\varphi Z_{t-1}-\theta_{0}\bigr)=0.
Definindo m=n-1 (neste caso m=9), escrevemos médias sobre t=2,\dots,n:
\bar{Z}_{\text{(lag)}}=\frac{1}{m}\sum_{t=2}^n Z_{t-1},\qquad \bar{Z}=\frac{1}{m}\sum_{t=2}^n Z_t.
A partir das equações normais obtemos as fórmulas clássicas de regressão OLS (na notação x_t=Z_{t-1},y_t=Z_t):
\widehat{\varphi}=\frac{\sum_{t=2}^n (Z_{t-1}-\bar{Z}_{\text{(lag)}})(Z_t-\bar{Z})}{\sum_{t=2}^n (Z_{t-1}-\bar{Z}_{\text{(lag)}})^2}
e
\widehat{\theta}_0=\bar{Z}-\widehat{\varphi}\,\bar{Z}_{\text{(lag)}}.
Explicação das variáveis nas fórmulas:
  • \bar{Z}_{\text{(lag)}} é a média dos Z_{t-1} para t=2,\dots,n.
  • \bar{Z} é a média dos Z_t para t=2,\dots,n.
  • O numerador de \widehat{\varphi} é a covariância amostral entre Z_{t-1} e Z_t (com denominador m na definição intermediária); o denominador é a variância amostral de Z_{t-1}.
    Observação: este é exatamente o problema de ajustar uma reta y=\varphi x+\theta_0 por mínimos quadrados aos pontos (x_t,y_t)=(Z_{t-1},Z_t).
Depois de obter \widehat{\varphi} e \widehat{\theta}_0 é fácil obter \widehat{\mu} usando a relação \theta_0=\mu(1-\varphi), logo
\widehat{\mu}=\frac{\widehat{\theta}_0}{1-\widehat{\varphi}}.
Para estimar \sigma_a^2 calculamos os resíduos ajustados para t=2,\dots,n:
\widehat{a}_t = Z_t - \widehat{\varphi}\,Z_{t-1} - \widehat{\theta}_0,
a soma dos quadrados dos resíduos é
SQ(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_0)=\sum_{t=2}^n \widehat{a}_t^{\,2},
e, conforme o enunciado, usamos
\widehat{\sigma}_a^{2}=\frac{SQ(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_0)}{\,n-2\,},
com n=10 neste problema (portanto dividir por 8). Observação didática: em regressão linear com m observações e p parâmetros estimados, o estimador usual divide por m-p; aqui estamos usando a convenção dada pelo enunciado que resulta em divisão por n-2.

Passo 3

Cálculo dos somatórios e médias usando os dados da tabela (estou explicitando que peguei os valores da tabela do enunciado).
Formamos os pares (x_t,y_t)=(Z_{t-1},Z_t) para t=2,\dots,10. Assim m=9 e
\begin{array}{c|ccccccccc} t & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\hline x_t=Z_{t-1} & -0,4 & -0,9 & -0,8 & -0,8 & -0,2 & -0,3 & -0,6 & 0,3 & 0,3\\\ y_t=Z_t & -0,9 & -0,8 & -0,8 & -0,2 & -0,3 & -0,6 & 0,3 & 0,3 & 0,8 \end{array}
Agora calculamos as somas necessárias (todas somas sobre t=2,\dots,10):
Soma das x_t:
\sum_{t=2}^{10} Z_{t-1} = -0,4-0,9-0,8-0,8-0,2-0,3-0,6+0,3+0,3 = -3,4.
Soma das y_t:
\sum_{t=2}^{10} Z_t = -0,9-0,8-0,8-0,2-0,3-0,6+0,3+0,3+0,8 = -2,2.
Médias:
\bar{Z}_{\text{(lag)}}=\frac{-3,4}{9} \approx -0,3777778,\qquad \bar{Z}=\frac{-2,2}{9} \approx -0,2444444.
Soma dos quadrados de x_t:
\sum_{t=2}^{10} Z_{t-1}^2 = 0,16+0,81+0,64+0,64+0,04+0,09+0,36+0,09+0,09 = 2,92.
Soma dos produtos x_t y_t:
\sum_{t=2}^{10} Z_{t-1}Z_t = 0,36+0,72+0,64+0,16+0,06+0,18-0,18+0,09+0,24 = 2,27.
Agora as somas centradas:
S_{xx}=\sum_{t=2}^{10}(Z_{t-1}-\bar{Z}_{\text{(lag)}})^2 = \sum Z_{t-1}^2 - m\,\bar{Z}_{\text{(lag)}}^2 =2,92 - 9\cdot\bigl(-0,3777778\bigr)^2 \approx 1,6355556.
S_{xy}=\sum_{t=2}^{10}(Z_{t-1}-\bar{Z}_{\text{(lag)}})(Z_t-\bar{Z}) = \sum Z_{t-1}Z_t - m\,\bar{Z}_{\text{(lag)}}\bar{Z} =2,27 - 9\cdot(-0,3777778)(-0,2444444)\approx 1,4388889.
Portanto o estimador de \varphi é
\widehat{\varphi}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\approx\frac{1,4388889}{1,6355556}\approx 0,879595.
E o estimador de \theta_0 é
\widehat{\theta}_0=\bar{Z}-\widehat{\varphi}\,\bar{Z}_{\text{(lag)}} \approx -0,2444444 - 0,879595\cdot(-0,3777778)\approx 0,08777284.
(Resumo numérico intermediário: \widehat{\varphi}\approx 0,8796, \widehat{\theta}_0\approx 0,08777.)

Passo 4

Estimativa de \mu usando \theta_{0}=\mu(1-\varphi).
Calculamos
\widehat{\mu}=\frac{\widehat{\theta}_0}{1-\widehat{\varphi}} \approx\frac{0,08777284}{1-0,879595}\approx\frac{0,08777284}{0,120405}\approx 0,7289.
Explicação rápida: como \theta_0 é o deslocamento estacionário \mu(1-\varphi), ao isolar \mu obtemos essa fórmula direta.

Passo 5

Cálculo dos resíduos e da soma dos quadrados dos resíduos SQ.
Resíduos para t=2,\dots,10:
\widehat{a}_t = Z_t - \widehat{\varphi}\,Z_{t-1} - \widehat{\theta}_0.
Cálculo numérico (usei \widehat{\varphi}\approx 0,879595 e \widehat{\theta}_0\approx 0,08777284):
\begin{array}{ll} t=2:& \widehat{a}_2 = -0,9 - 0,879595(-0,4) - 0,08777284 \approx -0,63593484,\\[4pt] t=3:& \widehat{a}_3 = -0,8 - 0,879595(-0,9) - 0,08777284 \approx -0,09613734,\\[4pt] t=4:& \widehat{a}_4 = -0,8 - 0,879595(-0,8) - 0,08777284 \approx -0,18409684,\\[4pt] t=5:& \widehat{a}_5 = -0,2 - 0,879595(-0,8) - 0,08777284 \approx 0,41590316,\\[4pt] t=6:& \widehat{a}_6 = -0,3 - 0,879595(-0,2) - 0,08777284 \approx -0,21185384,\\[4pt] t=7:& \widehat{a}_7 = -0,6 - 0,879595(-0,3) - 0,08777284 \approx -0,42389434,\\[4pt] t=8:& \widehat{a}_8 = 0,3 - 0,879595(-0,6) - 0,08777284 \approx 0,73998416,\\[4pt] t=9:& \widehat{a}_9 = 0,3 - 0,879595(0,3) - 0,08777284 \approx -0,05165134,\\[4pt] t=10:& \widehat{a}_{10} = 0,8 - 0,879595(0,3) - 0,08777284 \approx 0,44834866. \end{array}
Agora os quadrados e a soma:
\sum_{t=2}^{10}\widehat{a}_t^{\,2}\approx 0,404405+0,009241+0,033912+0,173003+0,044869+0,179687+0,547566+0,002668+0,200999\approx 1,59636.
Assim
SQ(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_0)\approx 1,59636.]

Passo 6

Estimador de \sigma_a^2 conforme a sugestão do enunciado:
Usando n=10 e a sugestão de dividir por n-2=8,
\widehat{\sigma}_a^{2}=\frac{SQ(\widehat{\varphi},\widehat{\theta}_0)}{\,n-2\,} \approx\frac{1,59636}{8}\approx 0,199545.
Arredondando para 4 casas decimais quando apropriado obtemos \widehat{\sigma}_a^{2}\approx 0,1995.

Resposta

\widehat{\mu}\approx 0,7289
\widehat{\varphi}\approx 0,8796
\widehat{\sigma}_{a}^{2}\approx 0,1995
\widehat{\theta}_{0}\approx 0,08777

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