(2016-2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{tg} x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0} \frac{x - \tan x}{\sin x}.
Trata-se de limite de funções que resulta numa indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, podemos usar a regra de l’Hôpital ou desenvolver séries de Taylor. Aqui usaremos l’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a indeterminação: ao substituir x=0 no numerador e no denominador, temos
x - \tan x \big|_{x=0} = 0 - 0 = 0,
\sin x \big|_{x=0} = 0,
logo a forma é 0/0. Podemos, portanto, aplicar a regra de l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador.

Passo 3

Derivando numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x - \tan x\bigr) = 1 - \operatorname{sec}^2 x = -\,\tan^2 x,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr) = \cos x.

Passo 4

Pela regra de l’Hôpital, o limite original é igual a
\lim_{x\to 0} \frac{-\,\tan^2 x}{\cos x} = \frac{-\bigl(\lim_{x\to0}\tan x\bigr)^2}{\lim_{x\to0}\cos x} = \frac{-(0)^2}{1} = 0.

Resposta

0

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