Calcule o que se pede em cada item:
A derivada da função f(x)=(\sin x)^{\cos x} \cdot 1,25 Pontos

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede a derivada da função f(x)= (\sin x)^{\cos x}\cdot 1,25.
  • Dado: a função é f(x)=1,25\cdot (\sin x)^{\cos x}.
  • Observação importante sobre onde a função está bem definida (informação útil para a derivada): para a potência (\sin x)^{\cos x} ser real e bem comportada com a técnica que vamos usar, é necessário ter \sin x>0. Isso ocorre nos intervalos \bigl(2k\pi,(2k+1)\pi\bigr), com k\in\mathbb{Z}. A derivada que vamos calcular vale nesses intervalos.

Passo 2

Qual método usar — e por quê:
  • Aqui a base \sin x e o expoente \cos x dependem de x. Quando se tem uma função do tipo g(x)^{h(x)} a maneira mais prática é usar diferenciação logarítmica: tomar logaritmo natural da função e então derivar. Isso transforma a potência variável em um produto, onde podemos aplicar a regra do produto e derivar mais facilmente.
  • Regra geral que vamos usar (mini-aula): se y(x)=g(x)^{h(x)} com g(x)>0, então
\ln y = h(x)\,\ln g(x).
Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos (regra da cadeia + regra do produto)
\frac{y'}{y}=h'(x)\ln g(x)+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}.
Daí y'=y\bigl(h'(x)\ln g(x)+h(x)\dfrac{g'(x)}{g(x)}\bigr).
  • Vou aplicar essa fórmula com g(x)=\sin x e h(x)=\cos x. Lembra: derivada de \cos x é -\sin x e derivada de \ln(\sin x) é \dfrac{\cos x}{\sin x} (regra da cadeia).

Passo 3

Aplicando a diferenciação logarítmica passo a passo:
  • Defino y(x)=(\sin x)^{\cos x}. Então
\ln y = \cos x\cdot \ln(\sin x).
  • Derivo ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo uso regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{y'}{y}. No lado direito uso regra do produto:
    • derivada de \cos x é -\sin x;
    • derivada de \ln(\sin x) é \dfrac{\cos x}{\sin x}.
      Portanto
\frac{y'}{y} = \bigl(-\sin x\bigr)\ln(\sin x) + \cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.
  • Simplificando o segundo termo:
\frac{y'}{y} = -\sin x\ln(\sin x) + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}.

Passo 4

Isolando y' e obtendo f'(x):
  • Multiplicando ambos os lados por y temos
y'=y\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right).
  • Lembrando que y=(\sin x)^{\cos x}, então
\frac{d}{dx}\bigl((\sin x)^{\cos x}\bigr)=(\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right).
  • Como f(x)=1,25\cdot (\sin x)^{\cos x}, pela regra do fator constante
f'(x)=1,25\cdot \frac{d}{dx}\bigl((\sin x)^{\cos x}\bigr).
Portanto
f'(x)=1,25\cdot (\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right).

Passo 5

Uma forma alternativa ligeiramente mais compacta (opcional) — juntar em um único quociente:
  • Multiplicando e reduzindo ao mesmo denominador \sin x,
-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^{2}x}{\sin x} = \frac{-\sin^{2}x\ln(\sin x)+\cos^{2}x}{\sin x}.
Logo outra escrita equivalente é
f'(x)=1,25\cdot (\sin x)^{\cos x}\cdot\frac{-\sin^{2}x\ln(\sin x)+\cos^{2}x}{\sin x}.
  • Lembrete final: ambas as formas são corretas e a fórmula vale onde \sin x>0. Se for necessário avaliar numericamente, trabalhar com a primeira forma costuma ser mais direto.

Resposta

f'(x)=1,25\cdot (\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)

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