Calcule o que se pede em cada item:
A derivada da função
Pontos
A derivada da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede a derivada da função
. - Dado: a função é
. - Observação importante sobre onde a função está bem definida (informação útil para a derivada): para a potência
ser real e bem comportada com a técnica que vamos usar, é necessário ter . Isso ocorre nos intervalos , com . A derivada que vamos calcular vale nesses intervalos.
Passo 2
Qual método usar — e por quê:
- Aqui a base
e o expoente dependem de . Quando se tem uma função do tipo a maneira mais prática é usar diferenciação logarítmica: tomar logaritmo natural da função e então derivar. Isso transforma a potência variável em um produto, onde podemos aplicar a regra do produto e derivar mais facilmente. - Regra geral que vamos usar (mini-aula): se
com , então
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos (regra da cadeia + regra do produto)
Daí
.
- Vou aplicar essa fórmula com
e . Lembra: derivada de é e derivada de é (regra da cadeia).
Passo 3
Aplicando a diferenciação logarítmica passo a passo:
- Defino
. Então
- Derivo ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo uso regra da cadeia: . No lado direito uso regra do produto: - derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
- derivada de
- Simplificando o segundo termo:
Passo 4
Isolando
e obtendo
:
- Multiplicando ambos os lados por
temos
- Lembrando que
, então
- Como
, pela regra do fator constante
Portanto
Passo 5
Uma forma alternativa ligeiramente mais compacta (opcional) — juntar em um único quociente:
- Multiplicando e reduzindo ao mesmo denominador
,
Logo outra escrita equivalente é
- Lembrete final: ambas as formas são corretas e a fórmula vale onde
. Se for necessário avaliar numericamente, trabalhar com a primeira forma costuma ser mais direto.