( \mathbf{2 , 0} pontos) Um empresa monta telefones celulares cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas F_{1}, F_{2} e F_{3}. Elas produzem, respectivamente, 10 \%, 40 \% e 50 \% do total. As probabilidades das fábricas F_{1}, F_{2} e F_{3} produzirem peças defeituosas são 0, 03 ; 0,04 e 0,02 , respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto das peças produzidas. Essa peça é testada e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade que a peça tenha sido produzida pela fábrica F_{i}, para i=1,2,3 ?
Solução: Considere o evento D= a peça é defeituosa. Sabemos que P\left(F_{1}\right)=0,10, P\left(F_{2}\right)=0,40 e P\left(F_{3}\right)=0,50 (abusando da notação). Sabemos ainda que P\left(D \mid F_{1}\right)=0,03, P\left(D \mid F_{2}\right)=0,04 e P\left(D \mid F_{3}\right)= 0,02.
Queremos calcular P\left(F_{i} \mid D\right), para i=1,2,3.
O Teorema de Bayes nos diz que, para cada i=1,2,3 :

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache, para cada fábrica F_i, a probabilidade de ela ter produzido a peça sabendo que ela é defeituosa. O conteúdo é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Temos: \,P(F_{1})=0,10, \,P(F_{2})=0,40, \,P(F_{3})=0,50 e \,P(D\mid F_{1})=0,03, \,P(D\mid F_{2})=0,04, \,P(D\mid F_{3})=0,02,
onde D = “a peça é defeituosa”. Queremos \,P(F_i\mid D), i=1,2,3.

Passo 2

Primeiro calculamos P(D) pela probabilidade total:
P(D) = \sum_{i=1}^{3} P(F_i)\,P(D\mid F_i) = 0,10\cdot0,03 + 0,40\cdot0,04 + 0,50\cdot0,02 = 0,003 + 0,016 + 0,010 = 0,029.

Passo 3

Aplicando Bayes para F_{1}:
P(F_{1}\mid D) = \frac{P(F_{1})\,P(D\mid F_{1})}{P(D)} = \frac{0,10\cdot0,03}{0,029} \approx 0,1034.

Passo 4

Aplicando Bayes para F_{2}:
P(F_{2}\mid D) = \frac{0,40\cdot0,04}{0,029} = \frac{0,016}{0,029} \approx 0,5517.

Passo 5

Aplicando Bayes para F_{3}:
P(F_{3}\mid D) = \frac{0,50\cdot0,02}{0,029} = \frac{0,010}{0,029} \approx 0,3448.

Resposta

P(F_{1}\mid D)\approx 0,1034 P(F_{2}\mid D)\approx 0,5517 P(F_{3}\mid D)\approx 0,3448

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