A prova do ENEM contém 180 questões independentes. Cada questão tetn cinco alternativas, sendo que apenas uma das alternativas é correta. Suponha que um estudante resolva a prova respondendo a esmo (“chutando”) todas as questões.
(1,0 ponto) Qual a probabilidade de o estudante acertar pelo menos 60 \% das questões?

Passo 1

O enunciado diz que o estudante responde todas as n=180 questões “chutando” com probabilidade de acerto p=1/5=0,2 em cada uma, de forma independente. Queremos a probabilidade de ele acertar pelo menos 60\% das questões, ou seja, pelo menos 0,6\times180=108 acertos. Vamos modelar o número de acertos pela distribuição binomial e depois calcular P(X\ge108).

Passo 2

Seja X o número de acertos. Então
X\sim \mathrm{Bin}\bigl(n=180,\;p=0,2\bigr),
onde
P(X=k)=\binom{180}{k}(0,2)^k(0,8)^{180-k}.

Passo 3

A probabilidade pedida é
P(X\ge108)=\sum_{k=108}^{180}\binom{180}{k}(0,2)^k(0,8)^{180-k}.

Passo 4

Como n é grande, podemos aproximar X por normal com média
\mu=np=180\cdot0,2=36
e variância
\sigma^2=np(1-p)=180\cdot0,2\cdot0,8=28,8,
isto é, \sigma\approx5,366. Usando correção de continuidade,
P(X\ge108)\approx P\Bigl(Z\ge\frac{107,5-36}{5,366}\Bigr) = P\bigl(Z\ge13,32\bigr),
onde Z\sim N(0,1). Como 13,32 está muito longe da média, essa probabilidade é praticamente zero.

Passo 5

Portanto, embora o valor exato seja dado pela soma binomial, numericamente temos
P(X\ge108)\approx10^{-40},
ou seja, virtualmente zero.

Resposta

P(X\ge108) =\sum_{k=108}^{180}\binom{180}{k}(0,2)^k(0,8)^{180-k} \approx10^{-40}.

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