A prova do ENEM contém 180 questões independentes. Cada questão tetn cinco alternativas, sendo que apenas uma das alternativas é correta. Suponha que um estudante resolva a prova respondendo a esmo (“chutando”) todas as questões.
(1,0 ponto) Qual a probabilidade de o estudante acertar pelo menos
das questões?
(1,0 ponto) Qual a probabilidade de o estudante acertar pelo menos
Passo 1
O enunciado diz que o estudante responde todas as
questões “chutando” com probabilidade de acerto
em cada uma, de forma independente. Queremos a probabilidade de ele acertar pelo menos
das questões, ou seja, pelo menos
acertos. Vamos modelar o número de acertos pela distribuição binomial e depois calcular
.
Passo 2
Seja
o número de acertos. Então
onde
Passo 3
A probabilidade pedida é
Passo 4
Como
é grande, podemos aproximar
por normal com média
e variância
isto é,
. Usando correção de continuidade,
onde
. Como
está muito longe da média, essa probabilidade é praticamente zero.
Passo 5
Portanto, embora o valor exato seja dado pela soma binomial, numericamente temos
ou seja, virtualmente zero.