[ \mathbf{2 , 0} pontos] Encontre os autovalores e autovetores da matriz:
A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 3 \\\\ 4 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 4 & 0\end{pmatrix}.
Este é um problema de Álgebra Linear sobre valores próprios: vamos calcular o polinômio característico de A e usar (A - \lambda I)v = 0 para cada raiz \lambda.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 3 \\\\ 4 & -\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(-\lambda) - 3\cdot4 = \lambda^2 - 12.

Passo 3

Igualando a zero, obtemos
\lambda^2 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}.

Passo 4

Para \lambda_1 = 2\sqrt{3}\), resolvemos \[(A - 2\sqrt{3}\,I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -\!2\sqrt{3}\,x + 3\,y = 0,\\\\ 4\,x - 2\sqrt{3}\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem
3\,y = 2\sqrt{3}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,x = \frac{2}{\sqrt{3}}\,x.
Escolhendo x = \sqrt{3}\] para simplificar, fica \(y = 2. Assim um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}\sqrt{3} \\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -2\sqrt{3}\), temos \[(A + 2\sqrt{3}\,I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2\sqrt{3}\,x + 3\,y = 0,\\\\ 4\,x + 2\sqrt{3}\,y = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue
3\,y = -2\sqrt{3}\,x \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}\,x = -\frac{2}{\sqrt{3}}\,x.
Escolhendo x = \sqrt{3}\] gera \(y = -2. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}\sqrt{3} \\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

\lambda_1 = 2\sqrt{3}, autovetor v_1 = (\sqrt{3},\,2)^T.
\lambda_2 = -2\sqrt{3}, autovetor v_2 = (\sqrt{3},\,-2)^T.

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