Questão 5. ( 2,0 pontos) Considere as retas
r: 3 x+3 y=1 \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=t+1 \\\ y=3-t \end{array}\right.
(a) (1,0 ponto) Calcule as distâncias do ponto P(3,-5) à cada uma das retas r e s;
(b) ( 1,0 ponto) Determine a posição relativa e calcule a distância entre as retas r e s.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(3,-5)\) e duas retas \[r:\;3x+3y=1
s:\; \begin{cases} x=t+1,\\\ y=3-t \end{cases}
Na parte (a) precisamos calcular as distâncias de P\] a cada reta, usando a fórmula \[d(P,\,Ax+By+C=0)=\frac{\bigl|A x_0+B y_0+C\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\] Na parte (b) vamos investigar se \(r e s são paralelas, coincidentes ou concorrentes e, se forem paralelas, calcular a distância entre elas com
d(r,s)=\frac{\bigl|C_1-C_2\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2}},
escrevendo ambas no mesmo formato Ax+By=C.

Passo 2

Para r:3x+3y=1 tomamos A=3, B=3, C=-1. Substituindo P(3,-5):
d\bigl(P,r\bigr) =\frac{\bigl|3\cdot3+3\cdot(-5)-1\bigr|}{\sqrt{3^2+3^2}} =\frac{\bigl|9-15-1\bigr|}{\sqrt{18}} =\frac{7}{3\sqrt2} =\frac{7\sqrt2}{6}.

Passo 3

Primeiro encontramos a forma padrão de s. Da definição x=t+1 e y=3-t obtemos t=x-1 e
y=3-(x-1)\;\Rightarrow\;y=4-x\;\Rightarrow\;x+y=4.
Aqui A=1, B=1, C=-4. Logo
d\bigl(P,s\bigr) =\frac{\bigl|1\cdot3+1\cdot(-5)-4\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{\bigl|-6\bigr|}{\sqrt2} =\frac{6}{\sqrt2} =3\sqrt2.

Passo 4

Para ver a posição relativa, comparamos os vetores normais. Em r o normal é (3,3) e em s é (1,1). Como (3,3)=3\,(1,1), as retas são paralelas (não coincidentes, pois 1\neq12 quando escrevemos ambas como 3x+3y=\cdots).

Passo 5

Escrevemos s como 3x+3y=12 multiplicando x+y=4 por 3. Agora, a distância entre as paralelas
r:\;3x+3y=1, \quad s:\;3x+3y=12
é
d(r,s) =\frac{\bigl|1-12\bigr|}{\sqrt{3^2+3^2}} =\frac{11}{3\sqrt2} =\frac{11\sqrt2}{6}.

Resposta

(a) d(P,r)=\tfrac{7\sqrt2}{6} e d(P,s)=3\sqrt2.
(b) As retas r e s são paralelas e a distância entre elas é \tfrac{11\sqrt2}{6}.

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