[2,0 pontos] Verifique se a operação: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(2 x-y+z, y-4 z), é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z) = (\,2x - y + z,\;y - 4z\,)
e pede para verificar se T é uma transformação linear.
Para isso, usamos a definição: T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (additividade)
  2. T(\alpha\,u)=\alpha\,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificamos a additividade. Seja
u=(x_1,y_1,z_1),\quad v=(x_2,y_2,z_2).
Então
u+v=(\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,)
e
T(u+v) =\bigl(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;(y_1+y_2)-4(z_1+z_2)\bigr).
Distributindo,
T(u+v) =\bigl(2x_1+2x_2 - y_1 - y_2 + z_1 + z_2,\;y_1 + y_2 -4z_1 -4z_2\bigr).
Agrupando termos,
T(u+v) =\bigl(2x_1 - y_1 + z_1,\;y_1 -4z_1\bigr) \;+\;\bigl(2x_2 - y_2 + z_2,\;y_2 -4z_2\bigr) =T(u)+T(v).

Passo 3

Agora a homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
\alpha\,u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z)
e
T(\alpha\,u) =\bigl(2(\alpha x)-(\alpha y)+(\alpha z),\;(\alpha y)-4(\alpha z)\bigr).
Fatorando \alpha,
T(\alpha\,u) =\bigl(\alpha(2x - y + z),\;\alpha(y -4z)\bigr) =\alpha\,(2x - y + z,\;y -4z) =\alpha\,T(u).

Resposta

A aplicação T satisfaz additividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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