[2,0 pontos] Encontre os autovalores e autovetores da matriz:
A=\left[\begin{array}{cc} 10 & -9 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A=\begin{pmatrix}10 & -9\\\ 4 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo é Álgebra Linear: vamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I) para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Formamos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}10-\lambda & -9 \\[6pt] 4 & -2-\lambda\end{pmatrix}
e o determinante
\det(A-\lambda I) =(10-\lambda)(-2-\lambda)-(-9)\cdot4.]

Passo 3

Expandindo o determinante:
\det(A-\lambda I) =(10-\lambda)(-2-\lambda)+36 =\lambda^2-8\lambda+16 =(\lambda-4)^2.
Portanto o único autovalor é \lambda=4, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para \lambda=4 resolvemos o sistema
(A-4I)v =\begin{pmatrix}6 & -9\\[4pt]4 & -6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
A primeira equação dá 6x-9y=0\iff2x-3y=0\iff x=\tfrac{3}{2}\,y.
Tomando y=2, por exemplo, obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
O espaço próprio associado a \lambda=4 é de dimensão 1 e é gerado por (3,2)^{T}.]

Resposta

O único autovalor é \lambda=4 (multiplicidade algébrica 2) e todos os autovetores são da forma
v = t\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix},\quad t\neq0.

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