1. ( \mathbf{2 , 0} pontos) A equação cúbica de Van-Der-Walls é uma equação de estado que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right) \cdot(v-b)=R \cdot T
onde p é a pressão ( atm ), T é a temperatura (K) e v é o volume molar ( \mathrm{L} / \mathrm{mol} ).
Considerando-se a amônia, determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 524 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a 2,5 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} e uma tolerância abaixo de \mathbf{1 , 0} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}}. Fazer 2 iterações e calcule o erro relativo.
Dados: R=0,08206 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} ; a=4,23846 ; b=0,037557

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o volume molar da amônia para p=10 atm e T=524 K usando a equação de Van der Waals e o método de Newton-Raphson. Os dados fornecidos são:
R=0,08206\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)},\quad a=4,23846,\quad b=0,037557,
p=10\\ \mathrm{atm},\quad T=524\\ \mathrm{K},\quad \text{chute inicial } v_{0}=2,5\\ \mathrm{L/mol},
e a tolerância sugerida é menor que 1,0\times 10^{-3}. Pediu-se explicitamente: fazer 2 iterações de Newton-Raphson e calcular o erro relativo resultante.

Passo 2

Vou escrever a equação a resolver como uma equação na incógnita v (volume molar):
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)-R\,T=0.
Defino a função
f(v)=\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)-R\,T.
O método de Newton-Raphson itera a fórmula
v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.
Preciso então da derivada f'(v). Uso a regra do produto: se g(v)=p+a v^{-2} e h(v)=v-b, então f=g\cdot h - R T e
f'(v)=g'(v)h(v)+g(v)h'(v).
Calculando:
g'(v)=-2a\,v^{-3},\qquad h'(v)=1,
logo
f'(v)=-2a\,v^{-3}(v-b)+\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right).
Esta expressão pode ser organizada de forma mais compacta (útil para cálculo):
f'(v)=p+\frac{a(2b-v)}{v^{3}}.
Explico rapidamente: a derivada combina a variação do termo a/v^{2} e a do factor (v-b); o resultado acima é equivalente à aplicação direta da regra do produto.

Passo 3

Calculo a constante R\,T (vai aparecer em f(v)):
R\,T=0,08206\cdot 524 = 42,99944\\ \text{(unidades: atm·L/mol)}.

Passo 4

Primeiro avalio f(v_0).
Calculo a/v_0^{2}:
v_0^{2}=(2,5)^{2}=6,25,
\frac{a}{v_0^{2}}=\frac{4,23846}{6,25}=0,6781536.
Então
p+\frac{a}{v_0^{2}}=10+0,6781536=10,6781536.
Calculo v_0-b:
v_0-b=2,5-0,037557=2,462443.
Multiplico para obter o primeiro termo da função:
\left(p+\frac{a}{v_0^{2}}\right)(v_0-b)=10,6781536\cdot 2,462443\approx 26,294344456.
Subtraindo R\,T:
f(v_0)=26,294344456-42,99944\approx -16,705095544.
Agora avalio f'(v_0) usando a forma compacta:
v_0^{3}=(2,5)^{3}=15,625,
2b-v_0=2\cdot 0,037557-2,5=0,075114-2,5=-2,424886,
\frac{a(2b-v_0)}{v_0^{3}}=\frac{4,23846\cdot(-2,424886)}{15,625}\approx -0,657779085,
f'(v_0)=p+\frac{a(2b-v_0)}{v_0^{3}}=10-0,657779085\approx 9,342220915.
Aplico Newton-Raphson:
v_{1}=v_0-\frac{f(v_0)}{f'(v_0)}=2,5-\frac{-16,705095544}{9,342220915}
\frac{16,705095544}{9,342220915}\approx 1,7881289,
v_{1}\approx 2,5+1,7881289=4,2881289\\ \mathrm{L/mol}.
Resumo da iteração 1:
v_{1}\approx 4,2881289\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 5

Avalio f(v_1).
Calculo v_1^{2} e v_1^{3}:
v_1^{2}\approx (4,2881289)^{2}\approx 18,388088,
v_1^{3}\approx 18,388088\cdot 4,2881289\approx 78,850498.
Calculo a/v_1^{2}:
\frac{a}{v_1^{2}}=\frac{4,23846}{18,388088}\approx 0,230440.
Então
p+\frac{a}{v_1^{2}}\approx 10,230440.
E
v_1-b=4,2881289-0,037557=4,2505719.
Multiplicando:
\left(p+\frac{a}{v_1^{2}}\right)(v_1-b)\approx 10,230440\cdot 4,2505719\approx 43,48522075.
Logo
f(v_1)=43,48522075-42,99944\approx 0,48578075.
Agora f'(v_1):
2b-v_1=0,075114-4,2881289=-4,2130149,
\frac{a(2b-v_1)}{v_1^{3}}=\frac{4,23846\cdot(-4,2130149)}{78,850498}\approx -0,226391,
f'(v_1)=p+\frac{a(2b-v_1)}{v_1^{3}}\approx 10-0,226391=9,773609.
Aplico Newton novamente:
v_{2}=v_1-\frac{f(v_1)}{f'(v_1)}=4,2881289-\frac{0,48578075}{9,773609}.
Calculo a correção:
\frac{0,48578075}{9,773609}\approx 0,04970325,
v_{2}\approx 4,2881289-0,04970325=4,23842565\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 6

O enunciado pediu o erro relativo após 2 iterações. Vou usar o erro relativo aproximado entre a última e a penúltima aproximação, definido como
\text{erro relativo}=\left|\frac{v_{2}-v_{1}}{v_{2}}\right|.
Calculo:
|v_{2}-v_{1}|=|4,23842565-4,2881289|\approx 0,04970325,
\text{erro relativo}=\frac{0,04970325}{4,23842565}\approx 0,011727\approx 1,1727\%.
Comparando com a tolerância pedida 1,0\times 10^{-3}=0,001 (ou 0,1\%), vemos que após 2 iterações a tolerância não foi satisfeita (o erro relativo é maior).

Resposta

v\approx 4,23842565\\ \mathrm{L/mol}
\text{erro relativo}\approx 0,011727 (aproximadamente 1,1727\%)

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