( \mathbf{2 , 0} pontos) A equação cúbica de Van-Der-Walls é uma equação de estado que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right) \cdot(v-b)=R \cdot T
onde p é a pressão ( atm ), T é a temperatura (K) e v é o volume molar ( \mathrm{L} / \mathrm{mol} ).
Considerando-se a amônia, determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 524 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a 2,5 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} e uma tolerância abaixo de \mathbf{1 , 0} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{3}}. Fazer 2 iterações e calcule o erro relativo.
O enunciado pede que eu encontre o volume molar da amônia para p=10 atm e T=524 K usando a equação de Van der Waals e o método de Newton-Raphson. Os dados fornecidos são:
e a tolerância sugerida é menor que 1,0\times 10^{-3}. Pediu-se explicitamente: fazer 2 iterações de Newton-Raphson e calcular o erro relativo resultante.
Passo 2
Vou escrever a equação a resolver como uma equação na incógnita v (volume molar):
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)-R\,T=0.
Defino a função
f(v)=\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)-R\,T.
O método de Newton-Raphson itera a fórmula
v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.
Preciso então da derivada f'(v). Uso a regra do produto: se g(v)=p+a v^{-2} e h(v)=v-b, então f=g\cdot h - R T e
Esta expressão pode ser organizada de forma mais compacta (útil para cálculo):
f'(v)=p+\frac{a(2b-v)}{v^{3}}.
Explico rapidamente: a derivada combina a variação do termo a/v^{2} e a do factor (v-b); o resultado acima é equivalente à aplicação direta da regra do produto.
Comparando com a tolerância pedida 1,0\times 10^{-3}=0,001 (ou 0,1\%), vemos que após 2 iterações a tolerância não foi satisfeita (o erro relativo é maior).