7^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Analise a continuidade de
f(x, y, z, w)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\operatorname{sen}(x y z w)}{x y z w} \text { se } x y z w \neq 0 \\\\ 1 \text { se } x y z w=0 \end{array}\right.
em ( 0,0,0,0 ).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y,z,w)=\begin{cases} \dfrac{\sin(xyzw)}{xyzw}, & \text{se }xyzw\neq 0,\\[6pt] 1, & \text{se }xyzw=0, \end{cases}
e pede que a gente analise a continuidade de f no ponto (0,0,0,0).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é definida por duas expressões: uma quando o produto xyzw é diferente de zero e outra (o valor 1) quando esse produto é zero.
  • O ponto em que devemos verificar continuidade é (0,0,0,0).
O que é pedido explicitamente:
  • Determinar se f é contínua em (0,0,0,0), ou seja, verificar se
\lim_{(x,y,z,w)\to(0,0,0,0)} f(x,y,z,w)
existe e é igual a f(0,0,0,0)=1.]

Passo 2

Lembrete (em linguagem simples) do que significa mostrar continuidade num ponto em várias variáveis: devemos provar que, para qualquer sequência de pontos (x_n,y_n,z_n,w_n) que tende a (0,0,0,0) (ou, na linguagem epsilon-delta, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se \|(x,y,z,w)-(0,0,0,0)\|<\delta então |f(x,y,z,w)-1|<\varepsilon), a imagem f(x,y,z,w) tende a 1. Aqui \|\cdot\| pode ser, por exemplo, a norma euclidiana
\|(x,y,z,w)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.
Vou usar a ideia epsilon-delta, porque ela deixa claro como garantir a proximidade entre f(x,y,z,w) e 1.

Passo 3

Observação útil: a função depende só do produto
t:=xyzw.
Definimos a função univariante
g(t)=\begin{cases} \dfrac{\sin t}{t}, & t\neq 0,\\[6pt] 1, & t=0. \end{cases}
Então f(x,y,z,w)=g(xyzw)=g(t). Portanto, se soubermos que \lim_{t\to 0}g(t)=1 (ou seja, \dfrac{\sin t}{t}\to 1 quando t\to 0), ficamos bem encaminhados: ao forçar xyzw a ficar pequeno, g(xyzw) ficará próximo de 1.
Agora mostramos por que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Prova clássica (deslizamento pelo teorema do aperto): para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
(Explicação rápida: vem da comparação entre arco, seno e tangente numa circunferência; dividir as desigualdades apropriadas por t e inverter quando necessário dá a cadeia acima.) Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo teorema do aperto obtemos \lim_{t\to 0^+}\dfrac{\sin t}{t}=1. Pela paridade de \sin t/t (a expressão é par), o mesmo vale quando t\to 0^-. Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Isto significa que: para todo \varepsilon>0 existe \eta>0 tal que, sempre que |t|<\eta, temos
\left|\frac{\sin t}{t}-1\right|<\varepsilon.]

Passo 4

Agora relacionamos t=xyzw com a norma do vetor (x,y,z,w). Seja
r:=\|(x,y,z,w)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}.
Então, para cada coordenada vale |x|\le r, |y|\le r, |z|\le r, |w|\le r. Assim
|xyzw|\le |x||y||z||w|\le r\cdot r\cdot r\cdot r = r^{4}.
Esta desigualdade é prática: ela nos diz que, se o vetor está perto da origem (ou seja, r é pequeno), o produto xyzw é ainda menor — ele fica no order de r^{4}.

Passo 5

Agora juntamos as duas coisas (limite univariado de \sin t/t e a desigualdade acima) em um argumento epsilon-delta:
  • Dado \varepsilon>0, pela propriedade do limite univariado existe \eta>0 tal que
\text{se }|t|<\eta\text{ então }\left|\frac{\sin t}{t}-1\right|<\varepsilon.ã
  • Tome \delta:=\eta^{1/4}. Se \|(x,y,z,w)\|<\delta então, pela desigualdade do passo anterior,
|xyzw|\le \|(x,y,z,w)\|^{4}<\delta^{4}=\eta,
ou seja |t|<\eta. Então vale
\left|f(x,y,z,w)-1\right|=\left|\frac{\sin(xyzw)}{xyzw}-1\right|<\varepsilon,
sempre que xyzw\neq 0. Se xyzw=0 então f(x,y,z,w)=1 e |f(x,y,z,w)-1|=0<\varepsilon. Portanto, para esse \delta obtivemos que \|(x,y,z,w)\|<\delta implica |f(x,y,z,w)-1|<\varepsilon.
Isto prova que
\lim_{(x,y,z,w)\to(0,0,0,0)} f(x,y,z,w)=1.

Passo 6

Interpretando o resultado do passo anterior: como o limite de f quando (x,y,z,w)\to(0,0,0,0) é 1 e f(0,0,0,0)=1 (valor definido no enunciado), temos que f é contínua no ponto (0,0,0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0,0,0).

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