( \mathbf{2 . 0} pontos) No estudo de crescimento populacional, considera-se que a população de uma cidade decresce de acordo com o seguinte modelo:
P_{c}(t)=P_{c \max } \cdot e^{-0.05 \cdot t}+P_{c \min }
Por outro lado, a população da periferia cresce de acordo com o seguinte modelo:
P_{s}(t)=P_{s \min } \cdot e^{0.075 t}
Tem-se que:
P_{c \max }=75000 ; \quad P_{c \min }=100000 ; \quad P_{s \min }=5000
Deseja-se determinar o tempo no qual a população da cidade ( P_{c} ) será superior em 40 \% em relação à população do subúrbio \left(P_{s}\right). Efetue três iterações utilizando o método de Newton-Raphson, e calcule o erro relativo em cada uma. Adotar t_{0}=50. (trabalhar com 5 casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o tempo t tal que a população da cidade P_{c}(t) seja 40\% superior à população do subúrbio P_{s}(t), ou seja,
P_{c}(t)=1{,}4\,P_{s}(t).
Dados fornecidos:
P_{c}(t)=P_{c\max}\,e^{-0{,}05t}+P_{c\min},\quad P_{s}(t)=P_{s\min}\,e^{0{,}075t},
P_{c\max}=75000,\quad P_{c\min}=100000,\quad P_{s\min}=5000.
Ponto inicial para o método de Newton-Raphson: t_{0}=50. Pedem três iterações do método e o erro relativo em cada iteração. Trabalhar com 5 casas decimais.

Passo 2

Transformamos a condição P_{c}(t)=1{,}4\,P_{s}(t) numa função cuja raiz queremos encontrar. Definimos
f(t)=P_{c}(t)-1{,}4\,P_{s}(t).
Substituindo as expressões dadas:
f(t)=75000\,e^{-0{,}05t}+100000-1{,}4\cdot(5000\,e^{0{,}075t}).
Simplificando a constante 1{,}4\cdot5000=7000, obtemos
\boxed{f(t)=75000\,e^{-0{,}05t}+100000-7000\,e^{0{,}075t}.}

Passo 3

Precisamos da derivada f'(t) para usar Newton-Raphson. Derivando termo a termo:
  • Derivada de 75000\,e^{-0{,}05t} é 75000\cdot(-0{,}05)\,e^{-0{,}05t}=-3750\,e^{-0{,}05t}.
  • Derivada de 100000 é 0.
  • Derivada de -7000\,e^{0{,}075t} é -7000\cdot0{,}075\,e^{0{,}075t}=-525\,e^{0{,}075t}.
Logo,
\boxed{f'(t)=-3750\,e^{-0{,}05t}-525\,e^{0{,}075t}.}

Passo 4

Lembrete (mini-aula): o método de Newton-Raphson gera a sequência
t_{k+1}=t_{k}-\frac{f(t_{k})}{f'(t_{k})}.
O erro relativo aproximado entre duas iterações é tipicamente calculado por
\varepsilon_{k}=\left|\frac{t_{k}-t_{k-1}}{t_{k}}\right|.
Nós vamos executar 3 iterações: k=0\to1, 1\to2 e 2\to3. Em cada passo vou calcular f(t_{k}), f'(t_{k}), aplicar a fórmula e arredondar o resultado a 5 casas decimais (conforme solicitado).

Passo 5

Usando t_{0}=50.
Calculemos os expoentes:
-0{,}05t_{0}=-2{,}5,\qquad 0{,}075t_{0}=3{,}75.
As exponenciais (aproximadas para uso numérico):
e^{-2{,}5}\approx 0{,}08208499862,\qquad e^{3{,}75}\approx 42{,}521082.
Agora f(t_{0}):
f(50)=75000\cdot0{,}08208499862+100000-7000\cdot42{,}521082
\phantom{f(50)}\approx 6156{,}37490+100000-297647{,}574
\phantom{f(50)}\approx -191491{,}19910.
E f'(50):
f'(50)=-3750\cdot0{,}08208499862-525\cdot42{,}521082
\phantom{f'(50)}\approx -307{,}81874-22323{,}56805
\phantom{f'(50)}\approx -22631{,}38679.
Aplicando Newton:
t_{1}=50-\frac{-191491{,}19910}{-22631{,}38679}=50-8{,}462043942\approx 41{,}537956058.
Arredondando a 5 casas decimais:
\boxed{t_{1}=41{,}53796.}

Passo 6

Usamos a fórmula do erro relativo:
\varepsilon_{1}=\left|\frac{t_{1}-t_{0}}{t_{1}}\right| =\left|\frac{41{,}53796-50}{41{,}53796}\right| \approx 0{,}20374.
Arredondado a 5 casas decimais:
\boxed{\varepsilon_{1}=0{,}20374.}

Passo 7

Agora usamos t_{1}=41{,}53796.
Calculemos os expoentes:
-0{,}05t_{1}=-2{,}076898,\qquad 0{,}075t_{1}=3{,}115347.
As exponenciais (valores numéricos aproximados):
e^{-2{,}076898}\approx 0{,}125381,\qquad e^{3{,}115347}\approx 22{,}54019.
Agora f(t_{1}):
f(41{,}53796)=75000\cdot0{,}125381+100000-7000\cdot22{,}54019
\phantom{f(41{,}53796)}\approx 9403{,}57575+100000-157781{,}33
\phantom{f(41{,}53796)}\approx -48377{,}75425.
E f'(41{,}53796):
f'(41{,}53796)=-3750\cdot0{,}125381-525\cdot22{,}54019
\phantom{f'(41{,}53796)}\approx -470{,}92875-11831{,}59975
\phantom{f'(41{,}53796)}\approx -12302{,}52850.
Aplicando Newton:
t_{2}=41{,}53796-\frac{-48377{,}75425}{-12302{,}52850} =41{,}53796-3{,}931595\approx 37{,}606365.
Arredondando a 5 casas decimais:
\boxed{t_{2}=37{,}60637.}

Passo 8

Calculamos
\varepsilon_{2}=\left|\frac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}}\right| =\left|\frac{37{,}60637-41{,}53796}{37{,}60637}\right| \approx 0{,}10458.
Arredondado a 5 casas decimais:
\boxed{\varepsilon_{2}=0{,}10458.}

Passo 9

Agora usamos t_{2}=37{,}60637.
Expoentes:
-0{,}05t_{2}=-1{,}8803185,\qquad 0{,}075t_{2}=2{,}8204778.
Exponenciais aproximadas:
e^{-1{,}8803185}\approx 0{,}15256,\qquad e^{2{,}8204778}\approx 16{,}78400.
Calculando f(t_{2}):
f(37{,}60637)=75000\cdot0{,}15256+100000-7000\cdot16{,}78400
\phantom{f(37{,}60637)}\approx 11442{,}000+100000-117488{,}00
\phantom{f(37{,}60637)}\approx -6046{,}000\quad(\text{aprox.})
Derivada:
f'(37{,}60637)=-3750\cdot0{,}15256-525\cdot16{,}78400
\phantom{f'(37{,}60637)}\approx -572{,}100-8816{,}400
\phantom{f'(37{,}60637)}\approx -9388{,}500\quad(\text{aprox.})
Aplicando Newton:
t_{3}=37{,}60637-\frac{-6046{,}000}{-9388{,}500} =37{,}60637-0{,}64400\approx 36{,}96237.
Arredondando a 5 casas decimais:
\boxed{t_{3}=36{,}96237.}

Passo 10

Calculamos
\varepsilon_{3}=\left|\frac{t_{3}-t_{2}}{t_{3}}\right| =\left|\frac{36{,}96237-37{,}60637}{36{,}96237}\right| \approx 0{,}01743.
Arredondado a 5 casas decimais:
\boxed{\varepsilon_{3}=0{,}01743.}

Resposta

t_{1}=41{,}53796,\\ \varepsilon_{1}=0{,}20374
t_{2}=37{,}60637,\\ \varepsilon_{2}=0{,}10458
t_{3}=36{,}96237,\\ \varepsilon_{3}=0{,}01743

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