( \mathbf{2 . 0} pontos) Usando o método de Gauss-Seidel, resolva o seguinte sistema linear considerando um erro absoluto \leq 1,0 \times 10^{-3}:: e chute inicial x=1,0 ; y=1,5 ; \mathrm{z}=0,4. Fazer duas iterações
usando o chute inicial \;x^{(0)}=1,0,\;y^{(0)}=1,5,\;z^{(0)}=0,4\; e considerando erro absoluto \leq 1{,}0\times10^{-3}. O enunciado pede especificamente: fazer duas iterações do método. As informações relevantes que temos são: os coeficientes e termos independentes das três equações, o chute inicial e a tolerância desejada.]
Passo 2
Breve explicação do método (Gauss–Seidel) e derivação das fórmulas iterativas:
A ideia do Gauss–Seidel é isolar cada variável em sua equação e, em cada iteração, atualizar as variáveis usando já os valores mais recentes disponíveis (ou seja, assim que calculamos x na iteração corrente, usamos esse x atualizado para calcular y, e assim por diante).
Para obter as fórmulas, resolvemos cada equação em função da variável correspondente:
onde o símbolo ^{(\cdot)} indica que, dentro da mesma iteração, usamos os valores mais recentes já computados (Gauss–Seidel): por exemplo, ao calcular y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} e o z mais recente disponível (ainda de iteração k se z^{(k+1)} não foi calculado ainda).
Passo 3
Vamos fazer a primeira iteração (k=0 → k=1). Começamos calculando x^{(1)} usando y^{(0)} e z^{(0)}.
Substituindo y^{(0)}=1{,}5 e z^{(0)}=0{,}4 na fórmula de x:
Todas as diferenças são maiores que a tolerância \;1{,}0\times10^{-3} (por exemplo 0{,}322222223>0{,}001), logo após duas iterações a condição de parada dada pela tolerância não foi satisfeita. Se quiser atingir a tolerância, deve-se continuar iterando até que o máximo das diferenças entre iterações sucessivas fique abaixo de 1{,}0\times10^{-3}.