( \mathbf{2 . 0} pontos) Usando o método de Gauss-Seidel, resolva o seguinte sistema linear considerando um erro absoluto \leq 1,0 \times 10^{-3}:: e chute inicial x=1,0 ; y=1,5 ; \mathrm{z}=0,4. Fazer duas iterações
\left\{\begin{array}{l} 3 x+2 y-3 z=8 \\ 2 x-4 y+2 z=-4 \\ -x+y+5 z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Seidel no sistema
\begin{cases} 3x+2y-3z=8\\[4pt] 2x-4y+2z=-4\\[4pt] -x+y+5z=3 \end{cases}
usando o chute inicial \;x^{(0)}=1,0,\;y^{(0)}=1,5,\;z^{(0)}=0,4\; e considerando erro absoluto \leq 1{,}0\times10^{-3}. O enunciado pede especificamente: fazer duas iterações do método. As informações relevantes que temos são: os coeficientes e termos independentes das três equações, o chute inicial e a tolerância desejada.]

Passo 2

Breve explicação do método (Gauss–Seidel) e derivação das fórmulas iterativas:
  • A ideia do Gauss–Seidel é isolar cada variável em sua equação e, em cada iteração, atualizar as variáveis usando já os valores mais recentes disponíveis (ou seja, assim que calculamos x na iteração corrente, usamos esse x atualizado para calcular y, e assim por diante).
  • Para obter as fórmulas, resolvemos cada equação em função da variável correspondente:
Da primeira equação \;3x+2y-3z=8\; isolamos x:
x=\frac{8-2y+3z}{3}.
Da segunda equação \;2x-4y+2z=-4\; isolamos y:
-4y=-2x-2z-4\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2x+2z+4}{4}=\frac{x+z+2}{2}.
Da terceira equação \;-x+y+5z=3\; isolamos z:
5z=3+x-y\quad\Rightarrow\quad z=\frac{3+x-y}{5}.
Portanto as fórmulas iterativas (usando notação \,x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} para a k-ésima iteração) são:
x^{(k+1)}=\frac{8-2y^{(\cdot)}+3z^{(\cdot)}}{3}, \qquad y^{(k+1)}=\frac{x^{(\cdot)}+z^{(\cdot)}+2}{2}, \qquad z^{(k+1)}=\frac{3+x^{(\cdot)}-y^{(\cdot)}}{5},
onde o símbolo ^{(\cdot)} indica que, dentro da mesma iteração, usamos os valores mais recentes já computados (Gauss–Seidel): por exemplo, ao calcular y^{(k+1)} usamos x^{(k+1)} e o z mais recente disponível (ainda de iteração k se z^{(k+1)} não foi calculado ainda).

Passo 3

Vamos fazer a primeira iteração ( k=0 k=1). Começamos calculando x^{(1)} usando y^{(0)} e z^{(0)}.
Substituindo y^{(0)}=1{,}5 e z^{(0)}=0{,}4 na fórmula de x:
x^{(1)}=\frac{8-2\cdot 1{,}5+3\cdot 0{,}4}{3} =\frac{8-3{,}0+1{,}2}{3} =\frac{6{,}2}{3} =2{,}066666667.
Expliquei cada passo: multiplico 2 por 1{,}5 dando 3{,}0, multiplico 3 por 0{,}4 dando 1{,}2, faço 8-3{,}0+1{,}2=6{,}2 e então divido por 3.

Passo 4

Ainda na primeira iteração, calculamos y^{(1)} usando x^{(1)} recém-calculado e z^{(0)}:
y^{(1)}=\frac{x^{(1)}+z^{(0)}+2}{2} =\frac{2{,}066666667+0{,}4+2}{2} =\frac{4{,}466666667}{2} =2{,}233333333.
Detalhe: somei 2{,}066666667+0{,}4+2=4{,}466666667 e dividi por 2.

Passo 5

Concluímos a primeira iteração calculando z^{(1)} usando x^{(1)} e y^{(1)}:
z^{(1)}=\frac{3+x^{(1)}-y^{(1)}}{5} =\frac{3+2{,}066666667-2{,}233333333}{5} =\frac{2{,}833333334}{5} =0{,}566666667.
Fiz as somas/subtrações indicadas e dividi por 5. Assim o vetor após a primeira iteração é
(x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)})=(2{,}066666667,\;2{,}233333333,\;0{,}566666667).

Passo 6

Agora fazemos a segunda iteração ( k=1 k=2). Calculamos primeiro x^{(2)} usando y^{(1)} e z^{(1)}:
x^{(2)}=\frac{8-2y^{(1)}+3z^{(1)}}{3} =\frac{8-2\cdot 2{,}233333333+3\cdot 0{,}566666667}{3}.
Calculemos numericamente passo a passo:
-2\cdot 2{,}233333333=-4{,}466666666,\qquad 3\cdot 0{,}566666667=1{,}700000001
(aproximações por arredondamento),
8-4{,}466666666+1{,}700000001=5{,}233333335
e então
x^{(2)}=\frac{5{,}233333335}{3}=1{,}744444444.
(Arredondei para nove casas decimais mantendo precisão suficiente para a comparação com a tolerância.)

Passo 7

Ainda na segunda iteração calculamos y^{(2)} usando x^{(2)} e z^{(1)}:
y^{(2)}=\frac{x^{(2)}+z^{(1)}+2}{2} =\frac{1{,}744444444+0{,}566666667+2}{2} =\frac{4{,}311111111}{2} =2{,}155555556.
E por fim calculamos z^{(2)} usando x^{(2)} e y^{(2)}:
z^{(2)}=\frac{3+x^{(2)}-y^{(2)}}{5} =\frac{3+1{,}744444444-2{,}155555556}{5} =\frac{2{,}588888888}{5} =0{,}517777778.
Assim o vetor após a segunda iteração é
(x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)})=(1{,}744444444,\;2{,}155555556,\;0{,}517777778).

Passo 8

Verificação do erro absoluto entre iterações (diferença entre valores de iteração 2 e iteração 1) e comparação com a tolerância \;1{,}0\times10^{-3}:
|x^{(2)}-x^{(1)}|=|1{,}744444444-2{,}066666667|=0{,}322222223,
|y^{(2)}-y^{(1)}|=|2{,}155555556-2{,}233333333|=0{,}077777777,
|z^{(2)}-z^{(1)}|=|0{,}517777778-0{,}566666667|=0{,}048888889.
Todas as diferenças são maiores que a tolerância \;1{,}0\times10^{-3} (por exemplo 0{,}322222223>0{,}001), logo após duas iterações a condição de parada dada pela tolerância não foi satisfeita. Se quiser atingir a tolerância, deve-se continuar iterando até que o máximo das diferenças entre iterações sucessivas fique abaixo de 1{,}0\times10^{-3}.

Resposta

x^{(2)}=1{,}744444444
y^{(2)}=2{,}155555556
z^{(2)}=0{,}517777778

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