(
pontos) A equação cúbica de Van-Der-Walls é uma equação de estado que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
onde
é a pressão (atm),
é a temperatura (K) e
é o volume molar (L/mol).
Considerando-se a água, determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a
. (Tolerância de
). Fazer duas iterações.
Dados:
.
Considerando-se a água, determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a
Dados:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume molar
(em L/mol) da água nas condições
atm e
K, usando o método de Newton-Raphson com chute inicial
L/mol. Fazer duas iterações e usar tolerância
(mas executar exatamente duas iterações conforme pedido). Dados fornecidos:
Passo 2
Escrevemos a equação de Van-der-Waals em forma de função cuja raiz procuramos:
Definimos
Para aplicar Newton-Raphson precisamos de
. Diferenciando
em relação a
(cuidado com potências negativas):
logo
Explicando rápido: a derivada de
é
e a de
é
, daí os sinais e fatores.
Passo 3
O método de Newton-Raphson itera pela fórmula
Interpretação: calculamos o valor da função e da sua derivada no chute atual
e corrigimos
na direção que zera a reta tangente (é um passo que geralmente converge rápido se o chute for razoável).
Agora aplicamos essa fórmula com
L/mol e fazemos duas iterações.
Passo 4
Primeira iteração (
,
L/mol).
Calculemos termos intermediários passo a passo.
a)
b)
c) Então
d) Avaliando
:
Multiplicando:
E
Portanto
e) Avaliando
:
Já temos
. Além disso
e
, então
Logo
f) Atualização por Newton:
Passo 5
Segunda iteração (
, usando
L/mol).
a) Calcule
e
:
b)
c)
d)
e) Avaliando
:
f) Avaliando
:
Calculando o último termo:
portanto
g) Atualização por Newton (segunda iteração):
Observação final: foram feitas exatamente duas iterações conforme pedido; a diferença entre
e
é
, maior que a tolerância
, então mais iterações seriam necessárias para convergência plena, mas aqui paramos após duas iterações conforme instrução.