( \mathbf{2 . 0} pontos) A equação cúbica de Van-Der-Walls é uma equação de estado que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right) \cdot(v-b)=R \cdot T
onde p é a pressão (atm), T é a temperatura (K) e v é o volume molar (L/mol).
Considerando-se a água, determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a 5 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. (Tolerância de 10^{-4} ). Fazer duas iterações.
Dados: R=0,082054 \mathrm{~atm} . \mathrm{L} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} ; a=5,464 ; b=0,03049.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume molar v (em L/mol) da água nas condições p=10 atm e T=300 K, usando o método de Newton-Raphson com chute inicial v_0=5 L/mol. Fazer duas iterações e usar tolerância 10^{-4} (mas executar exatamente duas iterações conforme pedido). Dados fornecidos:
R=0,082054\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)},\quad a=5,464,\quad b=0,03049,\quad p=10\\ \mathrm{atm},\quad T=300\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Escrevemos a equação de Van-der-Waals em forma de função cuja raiz procuramos:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)\,(v-b)-R\,T=0.
Definimos
f(v)=\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)\,(v-b)-R\,T.
Para aplicar Newton-Raphson precisamos de f'(v). Diferenciando f(v) em relação a v (cuidado com potências negativas):
f(v)=p(v-b)+a\,v^{-1}-a b\,v^{-2}-R\,T,
logo
f'(v)=\frac{d}{dv}\big(p(v-b)\big)+\frac{d}{dv}\big(a v^{-1}\big)-\frac{d}{dv}\big(a b v^{-2}\big) =p - a v^{-2} + 2ab\,v^{-3}.
Explicando rápido: a derivada de v^{-1} é -v^{-2} e a de v^{-2} é -2v^{-3}, daí os sinais e fatores.

Passo 3

O método de Newton-Raphson itera pela fórmula
v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.
Interpretação: calculamos o valor da função e da sua derivada no chute atual v_n e corrigimos v_n na direção que zera a reta tangente (é um passo que geralmente converge rápido se o chute for razoável).
Agora aplicamos essa fórmula com v_0=5 L/mol e fazemos duas iterações.

Passo 4

Primeira iteração ( n=0, v_0=5 L/mol).
Calculemos termos intermediários passo a passo.
a) v_0-b=5-0,03049=4,96951.
b) \dfrac{a}{v_0^{2}}=\dfrac{5,464}{5^{2}}=\dfrac{5,464}{25}=0,21856.
c) Então
p+\frac{a}{v_0^{2}}=10+0,21856=10,21856.
d) Avaliando f(v_0):
f(v_0)=\big(10,21856\big)\cdot 4,96951 - R\,T.
Multiplicando:
10,21856\cdot 4,96951 \approx 50,78123418.
E R\,T=0,082054\cdot 300=24,6162. Portanto
f(v_0)\approx 50,78123418-24,6162=26,16503418.
e) Avaliando f'(v_0):
f'(v_0)=10 - \frac{5,464}{5^{2}} + \frac{2\cdot 5,464\cdot 0,03049}{5^{3}}.
Já temos \dfrac{5,464}{25}=0,21856. Além disso
2ab=2\cdot 5,464\cdot 0,03049\approx 0,33319472,
e 5^{3}=125, então
\frac{2ab}{v_0^{3}}=\frac{0,33319472}{125}\approx 0,00266555776.
Logo
f'(v_0)\approx 10-0,21856+0,00266555776\approx 9,78410555776.
f) Atualização por Newton:
v_1=v_0-\frac{f(v_0)}{f'(v_0)}\approx 5-\frac{26,16503418}{9,78410555776}\approx 5-2,6742386\approx 2,3257614\\ \mathrm{L/mol}.

Passo 5

Segunda iteração ( n=1, usando v_1\approx 2,3257614 L/mol).
a) Calcule v_1^{2} e v_1^{3}:
v_1^{2}\approx 2,3257614^{2}\approx 5,409366,\qquad v_1^{3}\approx 12,580899.
b) \dfrac{a}{v_1^{2}}=\dfrac{5,464}{5,409366}\approx 1,010099.
c) p+\dfrac{a}{v_1^{2}}\approx 10+1,010099=11,010099.
d) v_1-b=2,3257614-0,03049=2,2952714.
e) Avaliando f(v_1):
f(v_1)=11,010099\cdot 2,2952714 - 24,6162 \approx 25,271165345-24,6162\approx 0,654965345.
f) Avaliando f'(v_1):
f'(v_1)=10-\frac{5,464}{v_1^{2}}+\frac{2ab}{v_1^{3}}\approx 10-1,010099+\frac{0,33319472}{12,580899}.
Calculando o último termo:
\frac{0,33319472}{12,580899}\approx 0,026496,
portanto
f'(v_1)\approx 10-1,010099+0,026496\approx 9,016397.
g) Atualização por Newton (segunda iteração):
v_2=v_1-\frac{f(v_1)}{f'(v_1)}\approx 2,3257614-\frac{0,654965345}{9,016397}\approx 2,3257614-0,072636\approx 2,2531254\\ \mathrm{L/mol}.
Observação final: foram feitas exatamente duas iterações conforme pedido; a diferença entre v_2 e v_1 é \approx 0,0726, maior que a tolerância 10^{-4}, então mais iterações seriam necessárias para convergência plena, mas aqui paramos após duas iterações conforme instrução.

Resposta

v\approx 2,25313\\ \mathrm{L/mol}

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