( \mathbf{2 . 0} pontos) Considere a função:
f(x)=-x^{3}-4 \cos (2 x)+e^{2 x}+2
Resolva f(x)=0, usando o método da bisseção com intervalos iniciais [ 0, 15 ; 0,30 ]. Fazer três iterações. Obter um erro absoluto. Tolerância de 10^{-3}. Ângulo em Radianos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver \,f(x)=0\, onde
f(x)=-x^{3}-4\cos(2x)+e^{2x}+2
usando o método da bisseção com intervalo inicial \left[0{,}15,\;0{,}30\right]. Solicita-se fazer três iterações e obter um erro absoluto (tolerância dada: \,10^{-3}). Os ângulos estão em radianos. As informações relevantes que temos:
  • função f definida acima;
  • intervalo inicial \left[a,b\right]=\left[0{,}15,\;0{,}30\right];
  • número de iterações: 3;
  • tolerância desejada: \,10^{-3}.

Passo 2

Breve explicação do método da bisseção (passo a passo teórico, bem didático):
  • A bisseção precisa inicialmente de um intervalo \left[a,b\right] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja f(a)\cdot f(b)<0). Isso garante, por continuidade (teorema do valor intermediário), que existe pelo menos uma raiz em \left[a,b\right].
  • Em cada iteração compute o ponto médio \,m=\dfrac{a+b}{2}. Avalie f(m).
  • Se f(a)\cdot f(m)<0, a raiz está em \left[a,m\right] (portanto substituímos b\leftarrow m). Se f(m)\cdot f(b)<0, a raiz está em \left[m,b\right] (portanto substituímos a\leftarrow m). Se f(m)=0 paramos (temos raiz exata).
  • O erro absoluto máximo após n iterações é limitado por
\text{erro}\le \frac{b-a}{2^{n}},
onde \,b-a é o comprimento do intervalo inicial. Isso vem do fato de que a cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.

Passo 3

Avaliação inicial dos extremos para confirmar que há troca de sinal:
  • Calcular f(0{,}15). Usando aproximações padrão para \cos e e^{x} (explicito aproximações usadas):
    • x=0{,}15\Rightarrow x^{3}=0{,}003375.
    • \cos(2x)=\cos(0{,}30)\approx 0{,}9553364891 (valor de tabela).
    • e^{2x}=e^{0{,}30}\approx 1{,}349858497.
      Então
    f(0{,}15)\approx -0{,}003375-4\cdot 0{,}9553364891+1{,}349858497+2 \approx -0{,}474862459.Logo f(0{,}15)\approx -0{,}474862459 (negativo).
  • Calcular f(0{,}30):
    • x=0{,}30\Rightarrow x^{3}=0{,}027.
    • \cos(2x)=\cos(0{,}60)\approx 0{,}8253356149.
    • e^{2x}=e^{0{,}60}\approx 1{,}822118800.
      Então
    f(0{,}30)\approx -0{,}027-4\cdot 0{,}8253356149+1{,}822118800+2 \approx 0{,}493776340.Logo f(0{,}30)\approx 0{,}493776340 (positivo).
Como f(0{,}15)<0 e f(0{,}30)>0, há pelo menos uma raiz em \left[0{,}15,0{,}30\right]. Podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração 1:
  • Ponto médio m_{1}=\frac{0{,}15+0{,}30}{2}=0{,}225.
  • Avaliação f(0{,}225):
    • x^{3}=0{,}011390625.
    • \cos(2x)=\cos(0{,}45)\approx 0{,}9004471024.
    • e^{2x}=e^{0{,}45}\approx 1{,}568312 (aproximação usando séries ou produto e^{0{,}3}e^{0{,}15}).
      Então
    f(0{,}225)\approx -0{,}011390625-4\cdot 0{,}9004471024+1{,}568312+2 \approx -0{,}044867035.Resultado: f(0{,}225)\approx -0{,}044867035 (negativo).
  • Decisão: como f(0{,}15) e f(0{,}225) têm mesmo sinal (ambos negativos), a raiz está no subintervalo \left[0{,}225,\,0{,}30\right]. Atualizamos a\leftarrow 0{,}225, b\leftarrow 0{,}30.

Passo 5

Iteração 2:
  • Ponto médio m_{2}=\frac{0{,}225+0{,}30}{2}=0{,}2625.
  • Avaliação f(0{,}2625):
    • x^{3}=0{,}018087890625.
    • \cos(2x)=\cos(0{,}525)\approx 0{,}865232 (aprox. por série).
    • e^{2x}=e^{0{,}525}\approx 1{,}690458.
      Então
    f(0{,}2625)\approx -0{,}0180878906-4\cdot 0{,}865232+1{,}690458+2 \approx 0{,}211398109.Resultado: f(0{,}2625)\approx 0{,}211398109 (positivo).
  • Decisão: agora f(0{,}225)<0 e f(0{,}2625)>0, portanto a raiz está em \left[0{,}225,\,0{,}2625\right]. Atualizamos a\leftarrow 0{,}225, b\leftarrow 0{,}2625.

Passo 6

Iteração 3:
  • Ponto médio m_{3}=\frac{0{,}225+0{,}2625}{2}=0{,}24375.
  • Avaliação f(0{,}24375):
    • x^{3}\approx 0{,}014481553.
    • \cos(2x)=\cos(0{,}4875)\approx 0{,}88343 (aprox.).
    • e^{2x}=e^{0{,}4875}\approx 1{,}628152.
      Então
    f(0{,}24375)\approx -0{,}014481553-4\cdot 0{,}88343+1{,}628152+2 \approx 0{,}08010045.Resultado: f(0{,}24375)\approx 0{,}08010045 (positivo).
  • Decisão: como f(0{,}225)<0 e f(0{,}24375)>0, a raiz está em \left[0{,}225,\,0{,}24375\right] após a terceira iteração.

Passo 7

Cálculo do erro absoluto (limite) após 3 iterações:
  • Comprimento inicial do intervalo: b-a=0{,}30-0{,}15=0{,}15.
  • Pelo limite da bisseção, \text{erro}\le \frac{0{,}15}{2^{3}}=\frac{0{,}15}{8}=0{,}01875.
Portanto, após 3 iterações a aproximação é o ponto médio m_{3}=0{,}24375 e o erro absoluto máximo garantido é 0{,}01875. A tolerância pedida \,10^{-3}=0{,}001 ainda não foi atingida, pois 0{,}01875>0{,}001. Continue as iterações (ou use outro método) até que o erro estimado fique abaixo de 10^{-3}.

Resposta

Aproximação após 3 iterações: x\approx 0{,}24375
Erro absoluto (limite) após 3 iterações: \le 0{,}01875
Tolerância 10^{-3} atingida? Não ( 0{,}01875>0{,}001).

Exercícios relacionados