(
pontos) Considere a função:
Resolva
, usando o método da bisseção com intervalos iniciais [ 0,
]. Fazer três iterações. Obter um erro absoluto. Tolerância de
. Ângulo em Radianos.
Passo 1
O enunciado pede para resolver
onde
usando o método da bisseção com intervalo inicial
. Solicita-se fazer três iterações e obter um erro absoluto (tolerância dada:
). Os ângulos estão em radianos. As informações relevantes que temos:
- função
definida acima; - intervalo inicial
; - número de iterações: 3;
- tolerância desejada:
.
Passo 2
Breve explicação do método da bisseção (passo a passo teórico, bem didático):
- A bisseção precisa inicialmente de um intervalo
tal que e tenham sinais opostos (ou seja ). Isso garante, por continuidade (teorema do valor intermediário), que existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração compute o ponto médio
. Avalie . - Se
, a raiz está em (portanto substituímos ). Se , a raiz está em (portanto substituímos ). Se paramos (temos raiz exata). - O erro absoluto máximo após
iterações é limitado por
onde
é o comprimento do intervalo inicial. Isso vem do fato de que a cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
Passo 3
Avaliação inicial dos extremos para confirmar que há troca de sinal:
- Calcular
. Usando aproximações padrão para e (explicito aproximações usadas): -
. -
(valor de tabela). -
.
Então
Logo (negativo). -
- Calcular
: -
. -
. -
.
Então
Logo (positivo). -
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Iteração 1:
- Ponto médio
- Avaliação
: -
. -
. -
(aproximação usando séries ou produto ).
Então
Resultado: (negativo). -
- Decisão: como
e têm mesmo sinal (ambos negativos), a raiz está no subintervalo . Atualizamos , .
Passo 5
Iteração 2:
- Ponto médio
- Avaliação
: -
. -
(aprox. por série). -
.
Então
Resultado: (positivo). -
- Decisão: agora
e , portanto a raiz está em . Atualizamos , .
Passo 6
Iteração 3:
- Ponto médio
- Avaliação
: -
. -
(aprox.). -
.
Então
Resultado: (positivo). -
- Decisão: como
e , a raiz está em após a terceira iteração.
Passo 7
Cálculo do erro absoluto (limite) após 3 iterações:
- Comprimento inicial do intervalo:
. - Pelo limite da bisseção,
Portanto, após 3 iterações a aproximação é o ponto médio
e o erro absoluto máximo garantido é
. A tolerância pedida
ainda não foi atingida, pois
. Continue as iterações (ou use outro método) até que o erro estimado fique abaixo de
.
Resposta
Aproximação após 3 iterações:
Erro absoluto (limite) após 3 iterações:
Tolerância atingida? Não (
).
Erro absoluto (limite) após 3 iterações:
Tolerância