(2,0 pontos) Sejam U=\{(2,2,3),(-m, 2 m, 3),(5,4,3)\} e V=\{(1,-1,2),(2,0,1),(1,0,2)\} duas bases do \mathbb{R}^{3}, sendo m o mês de seu aniversário. Encontre a matriz de mudança de base de U para V ou de V para U (escolha uma delas).
Passo 1
O enunciado dá duas bases do \mathbb{R}^3:
U=\{(2,2,3),(-m,2m,3),(5,4,3)\}
V=\{(1,-1,2),(2,0,1),(1,0,2)\},
onde m é o mês do seu aniversário (uma constante). A tarefa é encontrar a matriz de mudança de base entre essas bases — posso escolher qual direção fazer. Vou escolher achar a matriz de mudança de base de U para V, isto é, a matriz P tal que, para todo vetor x\in\mathbb{R}^3,
[x]_V = P\,[x]_U.
Aqui [x]_U são as coordenadas de x na base U e [x]_V são as coordenadas na base V.
Dados relevantes listados:
vetores de U: u_1=(2,2,3), u_2=(-m,2m,3), u_3=(5,4,3);
vetores de V: v_1=(1,-1,2), v_2=(2,0,1), v_3=(1,0,2);
queremos a matriz P que transforma coordenadas em U para coordenadas em V.
Passo 2
Conceito essencial (mini-aula): a matriz de mudança de base de U para V, denotada P_{V\leftarrow U}, é construída colocando em cada coluna as coordenadas, na base V, de cada vetor da base U. Ou seja, para cada u_j\in U encontramos escalares a,b,c tais que
u_j = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3,
então a j-ésima coluna de P é \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Explicando por que: se [u_j]_U é o vetor canônico e_j, então [u_j]_V são exatamente as coordenadas (a,b,c); como as colunas de P transformam [x]_U em [x]_V, as colunas devem ser [u_j]_V.
Método prático: para cada u_j resolvemos um sistema linear 3×3 para obter os coeficientes a,b,c.
Passo 3
Expressão de u_1=(2,2,3)\) em \(V\). Escrevemos
\[(2,2,3)=a(1,-1,2)+b(2,0,1)+c(1,0,2).
Isso gera o sistema por componentes:
\begin{cases} 2 = a + 2b + c,\\[4pt] 2 = -a,\\[4pt] 3 = 2a + b + 2c. \end{cases}
Da segunda equação obtemos imediatamente a=-2\]. Substituímos nas outras duas:
- da primeira: \[2 = -2 + 2b + c \Rightarrow 2b + c = 4.
- da terceira: 3 = 2(-2) + b + 2c \Rightarrow b + 2c = 7.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2b + c = 4,\\[4pt] b + 2c = 7, \end{cases}
isolamos c = 4 - 2b\] e substituímos na segunda:
\[b + 2(4 - 2b) = 7 \Rightarrow b + 8 - 4b = 7 \Rightarrow -3b = -1 \Rightarrow b = \tfrac{1}{3}.\]
Então \(c = 4 - 2\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}. Portanto as coordenadas de u_1 na base V são
Expressão de u_2 = (-m,2m,3)\) em \(V\). Escrevemos
\[(-m,2m,3)=a(1,-1,2)+b(2,0,1)+c(1,0,2),
o que dá o sistema
\begin{cases} -m = a + 2b + c,\\[4pt] 2m = -a,\\[4pt] 3 = 2a + b + 2c. \end{cases}
Da segunda equação vem a=-2m\]. Substituindo nas outras:
- primeira: \[-m = -2m + 2b + c \Rightarrow 2b + c = m.
- terceira: 3 = 2(-2m) + b + 2c \Rightarrow b + 2c = 3 + 4m.
Agora resolvemos
\begin{cases} 2b + c = m,\\[4pt] b + 2c = 3 + 4m. \end{cases}
Da primeira: c = m - 2b\]. Substituindo na segunda:
\[b + 2(m - 2b) = 3 + 4m \Rightarrow b + 2m - 4b = 3 + 4m \Rightarrow -3b = 3 + 2m.\]
Portanto
\[b = -\frac{3 + 2m}{3}.\]
E então
\[c = m - 2\left(-\frac{3+2m}{3}\right) = m + \frac{6 + 4m}{3} = \frac{7m + 6}{3}.\]
Com \(a=-2m, as coordenadas de u_2 em V são
Expressão de u_3=(5,4,3)\) em \(V\). Montamos
\[(5,4,3)=a(1,-1,2)+b(2,0,1)+c(1,0,2),
resultando em
\begin{cases} 5 = a + 2b + c,\\[4pt] 4 = -a,\\[4pt] 3 = 2a + b + 2c. \end{cases}
Da segunda equação a=-4\]. Substituindo:
- primeira: \[5 = -4 + 2b + c \Rightarrow 2b + c = 9.
- terceira: 3 = 2(-4) + b + 2c \Rightarrow b + 2c = 11.
Resolvendo
\begin{cases} 2b + c = 9,\\[4pt] b + 2c = 11, \end{cases}
temos c = 9 - 2b\]. Substituindo:
\[b + 2(9 - 2b) = 11 \Rightarrow b + 18 - 4b = 11 \Rightarrow -3b = -7 \Rightarrow b = \tfrac{7}{3}.\]
Então \(c = 9 - 2\cdot\tfrac{7}{3} = \tfrac{13}{3}. Com a=-4, as coordenadas de u_3 em V são
Agora montamos a matriz de mudança de base de U para V, P_{V\leftarrow U}, colocando as coordenadas [u_1]_V,\,[u_2]_V,\,[u_3]_V como colunas, na mesma ordem dos vetores de U. Assim