( \mathbf{0 , 5} pontos) Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta \mathrm{R}^{\prime} paralela a R . Quantos quadriláteros convexos com vértices em 4 desses 13 pontos existem?

Passo 1

O que o problema dá e o que pede: temos \,5, pontos sobre uma reta R e \,8, pontos sobre uma reta \,R' paralela a R. No total são \,13, pontos. O enunciado pede: “Quantos quadriláteros convexos com vértices em 4 desses 13 pontos existem?” Então precisamos contar todas as escolhas de quatro desses pontos que formam um quadrilátero convexo.

Passo 2

Entender quando quatro pontos formam um quadrilátero convexo neste cenário: como todos os pontos estão apenas em duas retas paralelas, a única colinearidade possível é entre pontos que estejam na mesma reta ( R ou R'). Um conjunto de quatro pontos não dá um quadrilátero convexo se houver três (ou quatro) pontos colineares, porque isso torna a figura degenerada. Portanto devemos evitar escolhas que contenham \,3, ou \,4, pontos todos na mesma reta.

Passo 3

Listar as possíveis distribuições de quantos pontos escolhemos em cada reta ao pegar quatro pontos: as distribuições possíveis são (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), onde o primeiro número é quantos escolhemos em R e o segundo em R'. Pelas observações do passo anterior, as distribuições que têm \,3, ou \,4, pontos numa mesma reta ( (0,4),(1,3),(3,1),(4,0)) são inválidas. Logo a única distribuição válida é (2,2): exatamente \,2, pontos em R e \,2, pontos em R'.

Passo 4

Justificar que toda escolha com exatamente \,2, pontos em cada reta realmente produz um quadrilátero convexo: imagine R como a reta y=0 e R' como y=1; escolha dois pontos distintos em cada reta com abscissas quaisquer. Esses quatro pontos formam sempre um trapézio (ou retângulo/ paralelogramo especial) cujo polígono convexo tem exatamente esses quatro vértices — não há colinearidade de três pontos e as arestas não se cruzam. Portanto cada escolha (2,2) produz um quadrilátero convexo válido.

Passo 5

Contar quantas escolhas correspondem à distribuição (2,2). Para isso usamos o número de combinações: a quantidade de maneiras de escolher \,k, elementos dentre \,n, é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até n. Aqui queremos escolher \,2, dos \,5, pontos em R e \,2, dos \,8, pontos em R'. Então o número total de escolhas é
\binom{5}{2}\cdot\binom{8}{2}.

Passo 6

Calcular cada combinação passo a passo sem usar calculadora: primeiro
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Depois
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2\cdot1}=\frac{56}{2}=28.

Passo 7

Multiplicar os resultados para obter o total:
10\cdot28=280.
Então existem \,280, quadriláteros convexos com vértices em quatro desses treze pontos.

Resposta

\,280

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