(
pontos) Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta
paralela a R . Quantos quadriláteros convexos com vértices em 4 desses 13 pontos existem?
Passo 1
O que o problema dá e o que pede: temos
, pontos sobre uma reta
e
, pontos sobre uma reta
paralela a
. No total são
, pontos. O enunciado pede: “Quantos quadriláteros convexos com vértices em 4 desses 13 pontos existem?” Então precisamos contar todas as escolhas de quatro desses pontos que formam um quadrilátero convexo.
Passo 2
Entender quando quatro pontos formam um quadrilátero convexo neste cenário: como todos os pontos estão apenas em duas retas paralelas, a única colinearidade possível é entre pontos que estejam na mesma reta (
ou
). Um conjunto de quatro pontos não dá um quadrilátero convexo se houver três (ou quatro) pontos colineares, porque isso torna a figura degenerada. Portanto devemos evitar escolhas que contenham
, ou
, pontos todos na mesma reta.
Passo 3
Listar as possíveis distribuições de quantos pontos escolhemos em cada reta ao pegar quatro pontos: as distribuições possíveis são
, onde o primeiro número é quantos escolhemos em
e o segundo em
. Pelas observações do passo anterior, as distribuições que têm
, ou
, pontos numa mesma reta (
) são inválidas. Logo a única distribuição válida é
: exatamente
, pontos em
e
, pontos em
.
Passo 4
Justificar que toda escolha com exatamente
, pontos em cada reta realmente produz um quadrilátero convexo: imagine
como a reta
e
como
; escolha dois pontos distintos em cada reta com abscissas quaisquer. Esses quatro pontos formam sempre um trapézio (ou retângulo/ paralelogramo especial) cujo polígono convexo tem exatamente esses quatro vértices — não há colinearidade de três pontos e as arestas não se cruzam. Portanto cada escolha
produz um quadrilátero convexo válido.
Passo 5
Contar quantas escolhas correspondem à distribuição
. Para isso usamos o número de combinações: a quantidade de maneiras de escolher
, elementos dentre
, é dado por
onde
(fatorial) é o produto dos inteiros de
até
. Aqui queremos escolher
, dos
, pontos em
e
, dos
, pontos em
. Então o número total de escolhas é
Passo 6
Calcular cada combinação passo a passo sem usar calculadora: primeiro
Depois
Passo 7
Multiplicar os resultados para obter o total:
Então existem
, quadriláteros convexos com vértices em quatro desses treze pontos.