( \mathbf{0 , 5} pontos) A expressão que representa a corrente que entra no terminal de um elemento é dada por: i(t)=t^{2} \cdot e^{-(t-4)}. Determine o valor máximo da corrente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo da corrente que entra num elemento, dada por
i(t)=t^{2}\,e^{-(t-4)}.
O conteúdo aqui é cálculo de extremos de função de variável real. Vamos usar derivadas para localizar pontos críticos e identificar o ponto de máximo.

Passo 2

Para facilitar, observe que
i(t)=t^{2}\,e^{-(t-4)}=e^{4}\;t^{2}\,e^{-t}.
Como e^{4} é constante e positiva, maximizar i(t) é equivalente a maximizar
g(t)=t^{2}\,e^{-t}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(t). Usando a regra do produto e a regra da exponencial,
g'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)\,e^{-t}+t^{2}\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr) =2t\,e^{-t}+t^{2}\,(-e^{-t}) =e^{-t}\,(2t - t^{2}).

Passo 4

Para encontrar pontos críticos, igualamos g'(t) a zero:
e^{-t}\,(2t - t^{2})=0.
Como e^{-t}>0 para todo t, resta
2t - t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(2 - t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\quad\text{ou}\quad t=2.

Passo 5

No contexto físico, t\ge0. Em t=0 temos i(0)=0. Em t=2 temos
i(2)=2^{2}\,e^{-(2-4)}=4\,e^{2}.
Para confirmar que é máximo, basta notar que g'(t) muda de positivo (em 0<t<2) para negativo (em t>2), ou computar a segunda derivada em t=2 e verificar que é negativa.

Resposta

O valor máximo da corrente é \displaystyle 4\,e^{2}, alcançado em t=2.

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