( \mathbf{2 5} pontos) um trocador de calor com tubos concêntricos e configuração contracorrente é utilizado para resfriar mosto de cerveja a 97^{\circ} \mathrm{C} antes de enviá-lo para o fermentador. Para isso, água em temperatura ambiente será usada como líquido refrigerante. A vazão da água de resfriamento através do tubo externo ( \mathrm{D}_{\mathrm{e}}=40 \mathrm{~mm} ) é de 0,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a vazão do mosto cervejeiro através do tubo interno ( D_{i}=20 \mathrm{~mm} ) é de 0,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Qual deve ser o comprimento do trocador de calor, para se obter uma temperatura de saída do mosto de 32^{\circ} \mathrm{C} ? Dados: mosto: \rho=1,050 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{c}=4016,6 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mu=1,5 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{k}=0,88 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. água: \mathrm{c}=4179 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mu=725 \times 10^{-6} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{k}=0,625 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=4,85
\begin{array}{cc} \operatorname{Re}_{x}=\frac{\rho u_{\infty} x}{\mu}=\frac{u_{\infty} x}{v} & \overline{N u}=\frac{\bar{h} L}{k_{f}}=f\left(\operatorname{Re}_{x}, \operatorname{Pr}\right) \\\ T_{f} \equiv \frac{T_{s}+T_{\infty}}{2} & \operatorname{Re}_{D}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{V D}{v} \end{array} Tabela 7.9 Resumo de correlações para a transferência de calor por convecção no escoamento externo [
Correlação Geometria Condições { }^{c}
\delta=5 x R e_{x}^{-1 / 2} (7.19) Placa plana Laminar, T_{f}
C_{f, x}=0,664 R e_{x}^{-1 / 2} (7.20) Placa plana Laminar, local, T_{f}
N u_{x}=0,332 \operatorname{Re}_{x}^{1 / 2} \operatorname{Pr}^{1 / 3} (7.23) Placa plana Laminar, local, T_{f}, \operatorname{Pr} \gtrsim 0,6
\delta_{t}=\delta \mathrm{Pr}^{-1 / 3} (7.24) Placa plana Laminar, T_{f}
\bar{C}_{f, x}=1,328 R e_{x}^{-1 / 2} (7.29) Placa plana Laminar, médio, T_{f}
\overline{N u}_{x}=0,664 \operatorname{Re}_{x}^{1 / 2} \operatorname{Pr}^{1 / 3} (7.30) Placa plana Laminar, médio, T_{f}, \operatorname{Pr} \gtrsim 0,6
N u_{x}=0,565 P e_{x}^{1 / 2} (7.32) Placa plana Laminar, local, T_{f}, \operatorname{Pr} \leqslant 0,05, P e_{x} \gtrsim 100
C_{f, x}=0,0592 R e_{x}^{-1 / 5} (7.34) Placa plana Turbulento, local, T_{f}, R e_{x} \leqslant 10^{8}
\delta=0,37 x R e_{x}^{-1 / 5} (7.35) Placa plana Turbulento, T_{f}, R e_{x} \leqslant 10^{8}
N u_{x}=0,0296 \operatorname{Re}_{x}^{4 / 5} \operatorname{Pr}^{1 / 3} (7.36) Placa plana Turbulento, local, T_{f}, R e_{x} \leqslant 10^{8}, 0,6 \leq \operatorname{Pr} \leq 60
\bar{C}_{f, L}=0,074 R e_{L}^{-1 / 5}-1742 R e_{L}^{-1} (7.40) Placa plana Mista, médio, T_{f}, R e_{x, c}=5 \times 10^{5}, R e_{L} \leqslant 10^{8}
\overline{N u}_{L}=\left(0,037 \operatorname{Re}_{L}^{4 / 5}-871\right) \operatorname{Pr}^{1 / 3} (7.38) Placa plana Mista, médio, T_{f}, R e_{x, c}=5 \times 10^{5}, R e_{L} \leqslant 10^{8}, 0,6 \leqslant \operatorname{Pr} \leqslant 60
N u_{D}=C R e_{D}^{m} P r^{1 / 3} (Tabela 7.2) (7.52) Cilindro Médio, T_{f}, 0,4 \lesssim R e_{D} \leqslant 4 \times 10^{5}, \operatorname{Pr} \geq 0,7
N u_{D}=C R e_{D}^{m} \operatorname{Pr}^{n}\left(\operatorname{Pr}_{P r}\right)^{1 / 4} (Tabela 7.4) (7.53) Cilindro Médio, T_{\infty}, 1 \leqslant R e_{D} \leqslant 10^{6}, 0,7 \leq \operatorname{Pr} \leq 500
\overline{N u}_{D}=0,3+\left[0,62 \operatorname{Re} e_{D}^{1 / 2} \operatorname{Pr}^{1 / 3}\right. \left.\times\left[1+(0,4 / P r)^{2 / 3}\right]^{-1 / 4}\right] \times\left[1+\left(\operatorname{Re}_{D} / 282.000\right)^{5 / 8}\right]^{4 / 5} (7.54) Cilindro Médio, T_{f}, R e_{D} \operatorname{Pr} \geq 0,2
\overline{N u}_{D}=2+\left(0,4 R e_{D}^{1 / 2}\right. \left.+0,06 R e_{D}^{2 / 3}\right) P r^{0,4} \times\left(\mu / \mu_{s}\right)^{1 / 4} (7.56) Esfera Médio, T_{\infty}, 3,5 \leqslant \operatorname{Re}_{D} \leqslant 7,6 \times 10^{4}, 0,71 \leqslant \operatorname{Pr} \leqslant 380
] \begin{aligned} & \frac{\Delta T_{\text {sai }}}{\Delta T_{\text {ent }}}=\frac{T_{s}-T_{m, \text { sai }}}{T_{s}-T_{m, \text { ent }}}=\exp \left(-\frac{P L}{\dot{m} c_{p}} \bar{h}\right) \quad T_{s}=\text { constante } \quad \operatorname{Re}=\frac{4 \dot{m}}{\pi D \mu} \cdot u_{m}=\frac{\dot{m}}{\rho A_{t r}} \\\ & \left(\frac{\chi_{c d, t}}{D}\right)_{l a m} \approx 0,05 \operatorname{Re} { }_{D} \operatorname{Pr} q_{s}^{"}=h\left(T_{s}-T_{m}\right) \quad q=\dot{m} c_{p}\left(T_{s a i}-T_{e n t}\right) " T_{m}=\frac{2}{u_{m} r_{0}^{2}} \int_{0}^{r_{o}} u T r d r \\\ & \ln \frac{\Delta T_{\text {sai }}}{\Delta T_{\text {ent }}}=-\frac{P L}{\dot{m} c_{p}} \bar{h}_{L} \quad T_{s}=\text { cons } \tan t e \quad q=\bar{U} A_{s} \Delta T_{m l} \quad \Delta T_{m l}=\frac{\Delta T_{\text {sai }}-\Delta T_{\text {ent }}}{\ln \left(\frac{\Delta T_{\text {sai }}}{\Delta T_{\text {ent }}}\right)} \end{aligned} TABELA 8.4 Resumo de correlações da conveção para o escoamento em um tubo circular { }^{a, b, e} [
Correlação Condições
\ f=64 / R e_{D} (8.19) Laminar, plenamente desenvolvido
N u_{D}=4,36 (8.53) Laminar, plenamente desenvolvido, q_{s}^{"} uniforme
N u_{D}=3,66 (8.55) Laminar, plenamente desenvolvido, T_{s} uniforme
\overline{N u}_{D}=3,66+\frac{0,0668(D / L) \operatorname{Re}_{D} \operatorname{Pr}}{1+0,04\left[(D / L) \operatorname{Re}_{D} \operatorname{Pr}\right]^{2 / 3}} (8.56) Laminar, entrada térmica (ou entrada combinada com \operatorname{Pr} \geq 5 ), T_{s} uniforme
ou
\overline{N u}_{D}=1,86\left(\frac{R e_{D} P r}{L / D}\right)^{1 / 3}\left(\frac{\mu}{\mu_{s}}\right)^{0,14} (8.57) Laminar, entrada combinada, 0,6 \leq \operatorname{Pr} \leq 5 ; 0,0044 \leq\left(\mu / \mu_{s}\right) \leq 9, 75 ; T_{s} uniforme
f=0,316 R e_{D}^{-1 / 4}
f=0,184 R e_{D}^{-1 / 5}
ou
(8.20a) { }^{c}
(8.20 \mathrm{~b})^{c}
Turbulento, plenamente desenvolvido, \operatorname{Re}_{D} \leq 2 \times 10^{4}
Turbulento, plenamente desenvolvido, R e_{D} \geq 2 \times 10^{4}
f=\left(0,790 \ln R e_{D}-1,64\right)^{-2} (8.21)^{c} Turbulento, plenamente desenvolvido, 3000 \leqslant R e_{D} \leqslant 5 \times 10^{6}
N u_{D}=0,023 \operatorname{Re}_{D}^{4 / 5} \operatorname{Pr}^{n} (8.60)^{d}
Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,6 \leq \operatorname{Pr} \leq 160, R e_{D} \geq 10.000,(L / D) \gtrsim 10, n=0,4 para T_{s}>T_{m}
e n=0,3 para T_{s}<T_{m}
ou
N u_{D}=0,027 \operatorname{Re}_{D}^{4 / 5} \operatorname{Pr}^{1 / 3}\left(\frac{\mu}{\mu_{s}}\right)^{0,14}
(8.61)^{d} Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,7 \leq \operatorname{Pr} \leq 16.700, R e_{D} \geq 10.000, L / D \geq 10
ou
N u_{D}=\frac{(f / 8)\left(R e_{D}-1000\right) P r}{1+12,7(f / 8)^{1 / 2}\left(P r^{2 / 3}-1\right)}
(8.62)^{d} Turbulento, plenamente desenvolvido, 0,5 \leqslant \operatorname{Pr} \leqslant 2000, 3000 \leqslant \operatorname{Re}_{D} \leqslant 5 \times 10^{6},(L / D) \geq 10
N u_{D}=4,82+0,0185\left(R e_{D} P r\right)^{0,827} (8.64) Metais líquidos, turbulento, plenamente desenvolvido, q_{s}^{"} uniforme, 3,6 \times 10^{3} \leqslant R e_{D} \leqslant 9,05 \times 10^{5}, 10^{2} \leqslant P e_{D} \leqslant 10^{4}
N u_{D}=5,0+0,025\left(R e_{D} P r\right)^{0,8} (8.65) Metais líquidos, turbulento, plenamente desenvolvido, T_{s} uniforme, P e_{D} \gtrsim 100
] \boldsymbol{q}=\mathbf{U A}\left(\mathbf{T}_{\mathbf{A}}-\mathbf{T}_{\mathbf{B}}\right) \mathrm{U}=\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{~h}_{1}}+\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{k}}+\frac{1}{\mathrm{~h}_{2}}}

Para escoamento paralelo:

A diferença de temperaturas média apropriada é uma média logarítmica (média log) das diferenças de temperaturas \rightarrow \Delta T_{m l}
\begin{aligned} & \Longrightarrow q=U A \Delta T_{m l} \\\ & \Longrightarrow \Delta T_{m l}=\frac{\left[\Delta T_{2}-\Delta T_{1}\right]}{\ln \left(\Delta T_{2} / \Delta T_{1}\right)} \quad \begin{array}{c} \text { Lembre que: } \\\ \Delta T_{1}=\left(T_{q, \text { ent }}-T_{f, \text { ent }}\right)=\left(T_{q, 1}-T_{f, 1}\right) \\\ \Delta T_{2}=\left(T_{q, \text { sai }}-T_{f, \text { sai }}\right)=\left(T_{q, 2}-T_{f, 2}\right) \end{array} \end{aligned}
Figura 11S. 2 Fator de correção para um trocador de calor casco e tubos com dois passes no casco e qualquer múltiplo de quatro (quatro, oito etc.) passes nos tubos.

\Delta T_{1} \equiv\left(T_{q, e n t}-T_{f, s a i}\right)
Para escoamento contra corrente: \Delta T_{2} \equiv\left(T_{q, \text { sai }}-T_{\text {f,ent }}\right)

TABELA 11.3 Relações da efetividade de trocadores de calor [5]

[
Configuração do Escoamento Relação
\ {Tubos concêntricos (bitubulares)}
\ Escoamento paralelo \varepsilon=\frac{1-\exp \left[-\mathrm{NUT}\left(1+C_{r}\right)\right]}{1+C_{r}} (11.28a)
Escoamento contracorrente
\begin{array}{ll} \varepsilon=\frac{1-\exp \left[-\mathrm{NUT}\left(1-C_{r}\right)\right]}{1-C_{r} \exp \left[-\mathrm{NUT}\left(1-C_{r}\right)\right]} & \left(C_{r}<1\right) \\ \varepsilon=\frac{\mathrm{NUT}}{1+\mathrm{NUT}} & \left(C_{r}=1\right) \end{array}
( C_{r}=1 ) (11.29a)
Casco e tubos
Um passe no casco ( 2,4, \ldots passes nos tubos)
\begin{aligned} \varepsilon_{1}= & 2\left\{1+C_{r}+\left(1+C_{r}^{2}\right)^{1 / 2}\right. & \left.\times \frac{1+\exp \left[-\left(\mathrm{NUT}\right)_{1}\left(1+C_{r}^{2}\right)^{1 / 2}\right]}{1-\exp \left[-\left(\mathrm{NUT}\right)_{1}\left(1+C_{r}^{2}\right)^{1 / 2}\right]}\right\}^{-1} \end{aligned} (11.30a)
n Passes no casco ( 2 n, 4 n, \ldots passes nos tubos) \varepsilon=\left[\left(\frac{1-\varepsilon_{1} C_{r}}{1-\varepsilon_{1}}\right)^{n}-1\right]\left[\left(\frac{1-\varepsilon_{1} C_{r}}{1-\varepsilon_{1}}\right)^{n}-C_{r}\right]^{-1} (11.31a)
Escoamento cruzado (passe único)
Dois fluidos não-misturados \varepsilon=1-\exp \left[\left(\frac{1}{C_{r}}\right)(\mathrm{NUT})^{0,22}\left\{\exp \left[-C_{r}(\mathrm{NUT})^{0,78}\right]-1\right\}\right] (11.32)
C_{\text {max }} (misturado), C_{\text {min }} (não-misturado) \varepsilon \doteq\left(\frac{1}{C_{r}}\right)\left(1-\exp \left\{-C_{r}[1-\exp (-\mathrm{NUT})]\right\}\right) (11.33a)
C_{\text {min }} (misturado), C_{\text {max }} (não-misturado) \varepsilon=1-\exp \left(-C_{r}^{-1}\left\{1-\exp \left[-C_{r}(\mathrm{NUT})\right]\right\}\right) (11.34a)
Todos os trocadores ( \boldsymbol{C}_{\boldsymbol{r}}=\mathbf{0} ) \varepsilon=1-\exp (- NUT ) (11.35a)
]

  1. { }^{a} As correlações da transferência de massa podem ser obtidas pela substituição de N u_{D} e P r por S h_{D} e S c, respectivamente. { }^{\mathrm{b}} As propriedades nas Equações 8.53,8.55,8.60,8.61,8.62,8.64 \mathrm{e} 8.65 são baseadas em T_{m}; as propriedades nas Equações 8.19,8.20 e 8.21 são baseadas em T_{f} \equiv\left(T_{s}+T_{m}\right) / 2; as propriedades nas Equações 8.56 e 8.57 são baseadas em \bar{T}_{m}=\left(T_{m, \text { cent }}+T_{m \text {.sai }}\right) / 2. { }^{\text {c }} As Equações 8.20 e 8.21 são para tubos lisos. Para tubos rugosos, a Equação 8.62 deve ser usada com os resultados da Figura 8.3. { }^{\text {d }} Como uma primeira aproximação, as Equaçōes 8.60,8.61 ou 8.62 podem ser usadas para calcular o número de Nusselt médio N u_{D} em todo o comprimento do tubo, se (L / D) \geq 10. As propriedades devem ser calculadas na média das temperaturas médias de entrada e de saída, T_{m}=\left(T_{m, \text { cent }}+T_{m, \text { sai }}\right) / 2. { }^{e} Para tubos com seção transversal não circular, \operatorname{Re} e_{D} \equiv D_{h} u_{m} / \nu, D_{h} \equiv 4 A_{t} / P e u_{m}=\dot{m} /\left(\rho A_{t}\right). Resultados para o escoamento laminar plenamente desenvolvido são fornecidos na Tabela 8.1. Para o escoamento turbulento, a Equação 8.60 pode ser usada como uma primeira aproximação.

Passo 1

O enunciado descreve um trocador de calor de tubos concêntricos em contracorrente que deve resfriar mosto de cerveja de 97{}^\circ\mathrm{C} para 32{}^\circ\mathrm{C} no tubo interno D_i=20\text{ mm}, \dot m_{\text{mosto}}=0,1\;\mathrm{kg/s} usando água de resfriamento no anel externo D_e=40\text{ mm}, \dot m_{\text{água}}=0,2\;\mathrm{kg/s}á, T_{\text{in},\text{água}}=25{}^\circ\mathrm{C}á. Vamos usar o método de efetividade–NTU para fluxo em contracorrente, calculando primeiro os coeficientes de transferência internos e externos, depois o coeficiente global U, em seguida \mathrm{NTU} a partir da efetividade exigida e por fim o comprimento L.

Passo 2

Calcular as propriedades hidráulicas e os coeficientes de película térmica com a correlação de Dittus–Boelter para escoamento plenamente desenvolvido turbulento \mathrm{Re}_D>10^4, L/D>10, usando n=0{,}3 para o mosto (fluido resfriado) e n=0{,}4 para a água (fluido aquecido).
Diâmetros e áreas:
D_i=0{,}02\;\mathrm{m}, \quad A_i=\frac{\pi D_i^2}{4}=3{,}14\times10^{-4}\;\mathrm{m^2},
D_h(\text{anel})=D_e-D_i=0{,}04-0{,}02=0{,}02\;\mathrm{m}, \quad A_o=\frac{\pi(D_e^2-D_i^2)}{4}=9{,}42\times10^{-4}\;\mathrm{m^2}.
Velocidades médias e números de Reynolds:
u_i=\frac{\dot m_{\text{mosto}}}{\rho_{\text{mosto}}A_i} =\frac{0,1}{1050\cdot3,14\times10^{-4}}=0,303\;\mathrm{m/s},
\mathrm{Re}_i=\frac{\rho_{\text{mosto}}u_iD_i}{\mu_{\text{mosto}}} =\frac{1050\cdot0,303\cdot0,02}{1{,}5\times10^{-3}} \approx4{,}24\times10^4,
u_o=\frac{0,2}{1000\cdot9,42\times10^{-4}}=0,212\;\mathrm{m/s},
\mathrm{Re}_o=\frac{1000\cdot0,212\cdot0,02}{7{,}25\times10^{-4}} \approx5{,}85\times10^3.
Nusselt e h:
\overline{N\!u}_i =0{,}023\,\mathrm{Re}_i^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_{\text{mosto}}^{0{,}3} \approx0{,}023\,(4{,}24\times10^4)^{0{,}8}\,(6{,}85)^{0{,}3} \approx205{,}8,
h_i=\frac{\overline{N\!u}_i\,k_{\text{mosto}}}{D_i} =\frac{205{,}8\cdot0{,}88}{0{,}02} \approx9{,}054\;\mathrm{kW/m^2K},
\overline{N\!u}_o =0{,}023\,\mathrm{Re}_o^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}_{\text{água}}^{0{,}4} \approx0{,}023\,(5{,}85\times10^3)^{0{,}8}\,(4{,}85)^{0{,}4} \approx44{,}7,á
h_o=\frac{\overline{N\!u}_o\,k_{\text{água}}}{D_h} =\frac{44{,}7\cdot0{,}625}{0{,}02} \approx1{,}396\;\mathrm{kW/m^2K}.á

Passo 3

Determinar o coeficiente global de transmissão de calor U (supondo resistência de parede desprezível) em função da área interna:
\frac1{U} =\frac1{h_i}+\frac{D_i}{D_e}\,\frac1{h_o} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{U} =\frac1{9054}+\frac{0,02}{0,04}\,\frac1{1396} \approx4{,}686\times10^{-4},
U\approx2134\;\mathrm{W/m^2K}.

Passo 4

Calcular as capacitâncias térmicas e a efetividade exigida:
C_i=\dot m_{\text{mosto}}c_{p,\text{mosto}} =0,1\cdot4016{,}6=401{,}66\;\mathrm{W/K}, \quad C_o=0,2\cdot4179=835{,}8\;\mathrm{W/K},
C_{\min}=401{,}66,\quad C_{\max}=835{,}8,\quad C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=0{,}481.
A carga térmica real
q=C_i\,(T_{\text{in,mosto}}-T_{\text{out,mosto}}) =401{,}66\,(97-32)=2{,}6108\times10^4\;\mathrm{W},
o máximo possível
q_{\max} =C_{\min}\,(T_{\text{in,mosto}}-T_{\text{in,água}}) =401{,}66\,(97-25)=2{,}8919\times10^4\;\mathrm{W},á
\varepsilon=\frac{q}{q_{\max}}=0{,}9026.

Passo 5

Para contracorrente a efetividade satisfaz
\varepsilon =\frac{1-\exp[-\mathrm{NTU}(1-C_r)]} {1-C_r\,\exp[-\mathrm{NTU}(1-C_r)]}.
Defina a=(1-C_r)\,\mathrm{NTU}. Com \varepsilon=0{,}9026 e C_r=0{,}481 obtém-se
\exp(-a)=0{,}1721 \quad\Longrightarrow\quad a=-\ln(0{,}1721)=1{,}759 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{NTU}=\frac{a}{1-C_r}=\frac{1{,}759}{0{,}519}\approx3{,}39.

Passo 6

Como \mathrm{NTU}=UA/C_{\min} e A=\pi D_i L, isola-se L:
3{,}39 =\frac{U\,\pi D_i L}{C_{\min}} \quad\Longrightarrow\quad L =\frac{3{,}39\,C_{\min}}{U\,\pi D_i} =\frac{3{,}39\cdot401{,}66}{2134\cdot\pi\cdot0{,}02} \approx10{,}2\;\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento necessário do trocador é aproximadamente 10{,}2\;\mathrm{m}.

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