Óleo motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro \mathrm{D}=50 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=25 \mathrm{~mm}, cuja superfície é mantida em 150^{\circ} \mathrm{C}. Se a vazão de escoamento e a temperatura do óleo na entrada do tubo forem de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e 20^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
(dados para o óleo: \rho=852 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; v=37,5 \mathrm{E}-5 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{k}=138 \mathrm{E}-3 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \operatorname{Pr}=0,490 ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=2131 \mathrm{~J} / \mathrm{kgK} )
a. Qual será a temperatura do óleo na saída do tubo?
b. Qual a taxa de transferência de calor total no tubo?

Passo 1

O enunciado trata de óleo que escoa num tubo circular de diâmetro D=50\:\mathrm{mm} e comprimento L=25\:\mathrm{mm}, com a parede mantida a T_w=150\:{^\circ\mathrm{C}}. A vazão mássica é \dot m=0,5\:\mathrm{kg/s} e a temperatura de entrada T_{\mathrm{in}}=20\:{^\circ\mathrm{C}}. O conteúdo é transferência de calor por convecção interna e balanço de energia no escoamento. Vamos precisar de: número de Reynolds para caracterizar o regime, correlação de Nusselt para fluxo laminar em tubo com parede a temperatura constante, coeficiente global de convecção h e integração do balanço de energia.

Passo 2

Calcular a velocidade média e o número de Reynolds. A área da seção é
A_c = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0,05)^2}{4} = 1{,}9635\times10^{-3}\:\mathrm{m^2}.
O caudal volumétrico é
Q_v = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{0{,}5}{852} = 5{,}87\times10^{-4}\:\mathrm{m^3/s},
logo a velocidade média é
U = \frac{Q_v}{A_c} = \frac{5{,}87\times10^{-4}}{1{,}9635\times10^{-3}} = 0{,}299\:\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds vale
\mathrm{Re} = \frac{U\,D}{\nu} = \frac{0{,}299\times0{,}05}{37{,}5\times10^{-5}} \approx 40,
ou seja, escoamento laminar.

Passo 3

Para escoamento interno laminar totalmente desenvolvido termicamente com parede a temperatura constante, usa-se a correlação
\mathrm{Nu} = 3{,}66.
Assim, o coeficiente de convecção é
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{3{,}66 \times 0{,}138}{0{,}05} = 10{,}11\:\mathrm{W/(m^2K)}.

Passo 4

Fazer o balanço de energia no escoamento. Escrevendo a variação de temperatura ao longo do tubo,
\frac{dT}{dx} = \frac{h\,P}{\dot m\,c_p}\,\bigl(T_w - T(x)\bigr),
onde P=\pi D é o perímetro molhado. Integrando de x=0 a x=L e de T_{\mathrm{in}} a T_{\mathrm{out}} obtém-se
T_{\mathrm{out}} = T_w - \bigl(T_w - T_{\mathrm{in}}\bigr) \exp\Bigl(-\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).
Calculando os parâmetros:
P = \pi\,D = \pi\times0{,}05 = 0{,}1571\:\mathrm{m}, \quad h\,P\,L = 10{,}11\times0{,}1571\times0{,}025 = 0{,}0397\:\mathrm{W/K},
\dot m\,c_p = 0{,}5\times2131 = 1065{,}5\:\mathrm{W/K}, \quad \exp\Bigl(-\frac{0{,}0397}{1065{,}5}\Bigr) \approx 0{,}9999627.
Logo
T_{\mathrm{out}} = 150 - (150 - 20)\times0{,}9999627 \approx 150 - 130\times0{,}9999627 \approx 20{,}005\:{^\circ\mathrm{C}}.

Passo 5

A potência térmica transferida é
\dot Q = \dot m\,c_p\,(T_{\mathrm{out}} - T_{\mathrm{in}}) = 0{,}5\times2131\times(20{,}005 - 20) \approx 5{,}33\:\mathrm{W}.

Resposta

a. T_{\mathrm{out}}\approx 20{,}005\:{^\circ\mathrm{C}}
b. \dot Q\approx 5{,}33\:\mathrm{W}

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