( \mathbf{3 , 0} ptos) Considere a função f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x-12 y+20.
a. Encontre e classifique os pontos críticos de f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x-12 y+20
b. Encontre o plano tangente à f(x, y) no ponto P(-1,1)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-12y+20
e pede duas coisas:
a. Encontrar e classificar os pontos críticos de f.
b. Encontrar o plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P(-1,1).
Informações relevantes fornecidas:
\text{o função: }f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-12y+20, \qquad \text{o ponto para o plano tangente: }P=(-1,1).çã

Passo 2

Encontrar pontos críticos: conceito e procedimento passo a passo.
O que é um ponto crítico? É um ponto (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo, isto é, as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente:
\nabla f(x,y)=\left(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\right)=(0,0).
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Use a regra de potência e derivada de termo linear:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+y^{3}-3x-12y+20\bigr) =3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+y^{3}-3x-12y+20\bigr) =3y^{2}-12=3(y^{2}-4).
Agora resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=(0,0), ou seja
3(x^{2}-1)=0,\qquad 3(y^{2}-4)=0.
Dividindo por 3 (que não é zero), obtemos
x^{2}-1=0\implies x^{2}=1\implies x=\pm 1,
y^{2}-4=0\implies y^{2}=4\implies y=\pm 2.
Como as condições são independentes em x e y, os pontos críticos são todas as combinações dos valores:
(x,y)\in\{(1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2)\}.

Passo 3

Classificação dos pontos críticos: explicação da regra (teste da derivada segunda) e cálculo dos elementos necessários.
Para classificar pontos críticos em duas variáveis usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
definimos as segundas derivadas
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regra de classificação (segunda derivada):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x,y) então f tem mínimo local ali.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x,y) então f tem máximo local ali.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora calculamos as segundas derivadas para nossa função. Diferenciando f_x e f_y:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}-3\bigr)=6x,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}-12\bigr)=6y,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-3\bigr)=0.
Portanto o determinante da Hessiana é
D(x,y)=\bigl(6x\bigr)\bigl(6y\bigr)-0^{2}=36\,x\,y.

Passo 4

Aplicamos o teste da segunda derivada em cada ponto crítico, avaliando D e f_{xx} e classificando.
  1. Ponto (1,2):
D(1,2)=36\cdot 1\cdot 2=72>0,\qquad f_{xx}(1,2)=6\cdot 1=6>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (1,2) é mínimo local.
  1. Ponto (1,-2):
D(1,-2)=36\cdot 1\cdot(-2)=-72<0.
Como D<0, (1,-2) é ponto de sela.
  1. Ponto (-1,2):
D(-1,2)=36\cdot (-1)\cdot 2=-72<0.
Como D<0, (-1,2) é ponto de sela.
  1. Ponto (-1,-2):
D(-1,-2)=36\cdot (-1)\cdot(-2)=72>0,\qquad f_{xx}(-1,-2)=6\cdot(-1)=-6<0.
Como D>0 e f_{xx}<0, (-1,-2) é máximo local.

Passo 5

Plano tangente em P(-1,1): fórmula, cálculo e simplificação.
Fórmula do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0}) é a aproximação linear
z=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui x_{0}=-1, y_{0}=1. Já calculamos as derivadas gerais; vamos avaliar no ponto.
Calculamos o valor de f no ponto:
f(-1,1)=(-1)^{3}+1^{3}-3(-1)-12(1)+20 =-1+1+3-12+20=11.
Derivadas parciais no ponto:
f_{x}(-1,1)=3\bigl((-1)^{2}-1\bigr)=3(1-1)=0,
f_{y}(-1,1)=3\bigl(1^{2}-4\bigr)=3(1-4)=3(-3)=-9.
Substituindo na fórmula do plano:
z=11+0\cdot (x+1)-9\cdot (y-1).
Simplificando:
z=11-9(y-1)=11-9y+9=20-9y.
Uma forma equivalente é
z+9y=20.

Resposta

a. (1,2) mínimo local; (1,-2) ponto de sela; (-1,2) ponto de sela; (-1,-2) máximo local.
b. Plano tangente: z=11-9(y-1) (equivalente a z=20-9y ou z+9y=20).

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