(
ptos) Considere a função
.
a. Encontre e classifique os pontos críticos de
b. Encontre o plano tangente à
no ponto
a. Encontre e classifique os pontos críticos de
b. Encontre o plano tangente à
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a. Encontrar e classificar os pontos críticos de .
b. Encontrar o plano tangente à superfície no ponto
.
a. Encontrar e classificar os pontos críticos de
b. Encontrar o plano tangente à superfície
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Encontrar pontos críticos: conceito e procedimento passo a passo.
O que é um ponto crítico? É um ponto
onde o gradiente de
é o vetor nulo, isto é, as derivadas parciais primeiras são zero simultaneamente:
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Use a regra de potência e derivada de termo linear:
Agora resolvemos o sistema
, ou seja
Dividindo por
(que não é zero), obtemos
Como as condições são independentes em
e
, os pontos críticos são todas as combinações dos valores:
Passo 3
Classificação dos pontos críticos: explicação da regra (teste da derivada segunda) e cálculo dos elementos necessários.
Para classificar pontos críticos em duas variáveis usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana:
definimos as segundas derivadas
definimos as segundas derivadas
O determinante da Hessiana é
Regra de classificação (segunda derivada):
- Se
e em então tem mínimo local ali. - Se
e em então tem máximo local ali. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora calculamos as segundas derivadas para nossa função. Diferenciando
e
:
Portanto o determinante da Hessiana é
Passo 4
Aplicamos o teste da segunda derivada em cada ponto crítico, avaliando
e
e classificando.
- Ponto
:
Como
e
,
é mínimo local.
- Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
- Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
- Ponto
:
Como
e
,
é máximo local.
Passo 5
Plano tangente em
: fórmula, cálculo e simplificação.
Fórmula do plano tangente à superfície
no ponto
é a aproximação linear
Aqui
,
. Já calculamos as derivadas gerais; vamos avaliar no ponto.
Calculamos o valor de
no ponto:
Derivadas parciais no ponto:
Substituindo na fórmula do plano:
Simplificando:
Uma forma equivalente é
Resposta
a.
mínimo local;
ponto de sela;
ponto de sela;
máximo local.
b. Plano tangente: (equivalente a
ou
).
b. Plano tangente: