2^{\mathrm{a}} Questão) Um canal retangular com largura \mathrm{bl}=2,0 \mathrm{~m} transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de 5 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{s} com altura de água igual a 1,90 \mathrm{~m} e coeficiente de rugosidade de Manning de 0,025 . Em determinada seção existe uma elevação de fundo de altura 0,50 \mathrm{~m} e a largura do canal é aumentada para b2, de tal modo que o nível da superficie da água não é alterado.
a) Qual a declividade do canal?
b) Qual a largura b2 para não haver mudança no nível da água na transição?
c) Para uma largura \mathrm{b} 2=2,20 \mathrm{~m} qual o máximo valor de deltaZ (altura do degrau), tal que as condições do escoamento a montante da transição não sejam alteradas?
E_{c}+y_{c} \rightarrow \Delta E

Passo 1

Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):\n
  • Dados:\n
    b_1=2{,}0\\ \mathrm{m} (largura inicial), Q=5{,}0\\ \mathrm{m^3/s}, profundidade uniforme y_1=1{,}90\\ \mathrm{m}, coeficiente de Manning n=0{,}025.\n
  • Em uma seção há uma elevação do fundo (degrau) com altura \Delta Z=0{,}50\\ \mathrm{m} e a largura do canal após o degrau passa a ser b_2. O nível da superfície da água não se altera na transição (ou seja, o nível absoluto da superfície permanece o mesmo).\n
  • Perguntas:\n
    a) Qual a declividade S do canal que permite escoamento uniforme com os dados acima? \n
    b) Qual deve ser a largura b_2 para que, com o degrau de \Delta Z=0{,}50\\ \mathrm{m}, o nível da superfície não sofra alteração? \n
    c) Para b_2=2{,}20\\ \mathrm{m}, qual o valor máximo de \Delta Z tal que as condições de escoamento a montante não se alterem?

Passo 2

Cálculo da declividade usando a fórmula de Manning (explicação curta e fórmula):\n
A fórmula de Manning para vazão em canal com escoamento uniforme é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:\n
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s}),\n
  • n é o coeficiente de Manning,\n
  • A é a área molhada ( \mathrm{m^2}),\n
  • R é o raio hidráulico definido por R=\dfrac{A}{P} ( \mathrm{m}), com P o perímetro molhado ( \mathrm{m}),\n
  • S é a declividade do canal (adimensional).\n
    Para um canal retangular de largura b e profundidade y:\n
A=b\,y,\qquad P=b+2y,\qquad R=\frac{b\,y}{b+2y}.
Isolando S da fórmula de Manning:
S=\left(\frac{n\,Q}{A\,R^{2/3}}\right)^2.

Passo 3

Aplicando os valores iniciais para obter S:\n
Calculemos A, P, R para b_1=2{,}0\\ \mathrm{m} e y_1=1{,}90\\ \mathrm{m}:\n
A=b_1 y_1=2{,}0\cdot 1{,}90=3{,}8\\ \mathrm{m^2},
P=b_1+2y_1=2{,}0+2\cdot 1{,}90=5{,}8\\ \mathrm{m},
R=\frac{A}{P}=\frac{3{,}8}{5{,}8}\approx 0{,}655172.
Calcule R^{2/3}:\n
R^{2/3}\approx 0{,}655172^{2/3}\approx 0{,}7548.
Agora use a fórmula de Manning isolada:
S=\left(\frac{n\,Q}{A\,R^{2/3}}\right)^2 =\left(\frac{0{,}025\cdot 5{,}0}{3{,}8\cdot 0{,}7548}\right)^2.
Calcule o numerador e denominador:
nQ=0{,}025\cdot 5{,}0=0{,}125, \quad A\,R^{2/3}=3{,}8\cdot 0{,}7548\approx 2{,}869.
Logo
\frac{nQ}{A\,R^{2/3}}\approx\frac{0{,}125}{2{,}869}\approx 0{,}04358,
S\approx(0{,}04358)^2\approx 0{,}00190.

Passo 4

Parte (b): determinar b_2 quando o nível da superfície não muda.\n
Interpretação física e relação entre profundidades:\n
Se o nível da superfície absoluta não muda e o fundo sobe \Delta Z=0{,}50\\ \mathrm{m}, então a nova profundidade sobre o novo fundo é
y_2=y_1-\Delta Z=1{,}90-0{,}50=1{,}40\\ \mathrm{m}.
Para que o nível da superfície não mude precisamos que a nova seção (largura b_2, profundidade y_2) transporte a mesma vazão Q sob a mesma declividade S e mesmo n. Ou seja, devemos satisfazer novamente a equação de Manning com S conhecido e incógnita b_2:
Q=\frac{1}{n}\,A_2\,R_2^{2/3}\,S^{1/2},
com
A_2=b_2\,y_2,\qquad P_2=b_2+2y_2,\qquad R_2=\frac{A_2}{P_2}.
Isto gera uma equação não-linear para b_2; vamos resolver numericamente por tentativas (metodologia simples que dá resultado rápido na prova: testar alguns valores e interpolar).
Cálculos por tentativas (mostro algumas iterações com as contas para você reproduzir sem calculadora sofisticada):\n
Usarei S^{1/2}\approx 0{,}04358 (obtido no Passo 3) e n=0{,}025. Lembre que 1/n=40.\n
  • Teste b_2=2{,}0\\ \mathrm{m}:\n
A_2=2{,}0\cdot 1{,}4=2{,}8,\quad P_2=2{,}0+2\cdot1{,}4=4{,}8,\quad R_2=\frac{2{,}8}{4{,}8}\approx0{,}58333,
R_2^{2/3}\approx0{,}5833^{2/3}\approx0{,}694,\quad A_2R_2^{2/3}\approx2{,}8\cdot0{,}694\approx1{,}943,
Q_{\mathrm{calc}}=\frac{1}{n}A_2R_2^{2/3}S^{1/2}\approx 40\cdot 1{,}943\cdot 0{,}04358\approx 3{,}39\\ \mathrm{m^3/s}.
Como 3{,}39<5, precisa-se de largura maior.\n
  • Teste b_2=3{,}0\\ \mathrm{m}:\n
A_2=3{,}0\cdot1{,}4=4{,}2,\quad P_2=3{,}0+2{,}8=5{,}8,\quad R_2=\frac{4{,}2}{5{,}8}\approx0{,}7241,
R_2^{2/3}\approx0{,}7241^{2/3}\approx0{,}810,\quad A_2R_2^{2/3}\approx4{,}2\cdot0{,}810\approx3{,}402,
Q_{\mathrm{calc}}\approx40\cdot3{,}402\cdot0{,}04358\approx5{,}93\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora deu maior que 5. Então b_2 está entre 2{,}0 e 3{,}0\\ \mathrm{m}.\n
  • Refino: teste b_2=2{,}6\\ \mathrm{m}:\n
A_2=2{,}6\cdot1{,}4=3{,}64,\quad P_2=2{,}6+2{,}8=5{,}4,\quad R_2=\frac{3{,}64}{5{,}4}\approx0{,}6741,
R_2^{2/3}\approx0{,}6741^{2/3}\approx0{,}769,\quad A_2R_2^{2/3}\approx3{,}64\cdot0{,}769\approx2{,}800,
Q_{\mathrm{calc}}\approx40\cdot2{,}800\cdot0{,}04358\approx4{,}89\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Teste b_2=2{,}7\\ \mathrm{m}:\n
A_2=2{,}7\cdot1{,}4=3{,}78,\quad P_2=2{,}7+2{,}8=5{,}5,\quad R_2\approx0{,}6873,
R_2^{2/3}\approx0{,}6873^{2/3}\approx0{,}781,\quad A_2R_2^{2/3}\approx3{,}78\cdot0{,}781\approx2{,}952,
Q_{\mathrm{calc}}\approx40\cdot2{,}952\cdot0{,}04358\approx5{,}15\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora vemos que para b_2=2{,}6 4{,}89 e para b_2=2{,}7 5{,}15. Interpolando linearmente para Q=5:\n
b_2\approx 2{,}6 + (5-4{,}89)\frac{2{,}7-2{,}6}{5{,}15-4{,}89} \approx 2{,}6 + 0{,}11\cdot\frac{0{,}1}{0{,}26}\approx 2{,}646\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão pratica: b_2\approx 2{,}65\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Parte (c): máxima \Delta Z para b_2=2{,}20\\ \mathrm{m} sem alterar o escoamento a montante (intuição e teoria do nível específico):\n
Ideia física e fórmula do “E específico” (energia específica):\n
A energia específica (referida ao leito local) para um determinado escoamento é
E(y)=y+\frac{V^2}{2g}=y+\frac{Q^2}{2g\,b^2\,y^2},
onde V=Q/(b\,y). Para uma dada vazão Q e largura b, há um valor mínimo de E que corresponde ao estado crítico. Determinando o mínimo (derivando E(y) em função de y e igualando a zero) obtemos a profundidade crítica
y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3},
e a energia crítica
E_c=\frac{3}{2}y_c.
Relembre a conservação de energia entre montante (subscrito 1) e jusante (subscrito 2) sem perdas além da mudança de cota do fundo: E_1 = \Delta Z + E_2 quando o nível livre absoluto permanece contínuo (isto vem de z_1+E_1=z_2+E_2 e z_2=z_1+\Delta Z). Para que não haja alteração das condições a montante, a energia específica disponível a jusante E_2 não pode ser menor que E_c(b_2); se fosse menor, não existe profundidade real que satisfaça a equação (a seção não admite essa energia) e ocorreria reflexão da mudança para montante (mudança do nível a montante).\n
Portanto a maior \Delta Z que ainda permite que o escoamento a montante permaneça igual é obtida colocando E_2=E_c(b_2). Logo
\Delta Z_{\max}=E_1-E_c(b_2).
Calculemos numericamente:\n
Primeiro E_1 (referida ao leito montante):\n
E_1=y_1+\frac{Q^2}{2g\,b_1^2\,y_1^2}.
Com Q^2=25, g=9{,}81, b_1=2{,}0, y_1=1{,}90:
\frac{Q^2}{2g\,b_1^2\,y_1^2}=\frac{25}{2\cdot 9{,}81\cdot 4\cdot (1{,}90)^2} =\frac{25}{19{,}62\cdot 4\cdot 3{,}61} =\frac{25}{283{,}40}\approx 0{,}08826.
Então
E_1\approx 1{,}90+0{,}08826\approx 1{,}9883\\ \mathrm{m}.
Agora y_c e E_c para b_2=2{,}20\\ \mathrm{m}:\n
y_c=\left(\frac{Q^2}{g\,b_2^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{25}{9{,}81\cdot (2{,}20)^2}\right)^{1/3}.
Calcule b_2^2=(2{,}20)^2=4{,}84. Então
\frac{Q^2}{g\,b_2^2}=\frac{25}{9{,}81\cdot 4{,}84}\approx\frac{25}{47{,}4804}\approx0{,}5265,
y_c\approx 0{,}5265^{1/3}\approx 0{,}8075\\ \mathrm{m}.
E_c=\frac{3}{2}y_c\approx 1{,}5\cdot 0{,}8075\approx 1{,}2113\\ \mathrm{m}.
Finalmente
\Delta Z_{\max}=E_1-E_c\approx 1{,}9883-1{,}2113\approx 0{,}7770\\ \mathrm{m}.
Observação prática: o \Delta Z dado no item (b) era 0{,}50\\ \mathrm{m}, que é menor que este máximo, portanto para b_2=2{,}20\\ \mathrm{m} um degrau de 0{,}50\\ \mathrm{m} não alteraria o escoamento a montante.

Resposta

a) S\approx 0{,}00190.\n
b) b_2\approx 2{,}65\\ \mathrm{m}.\n
c) \Delta Z_{\max}\approx 0{,}777\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados