Questão) Um canal retangular com largura
transporta em regime permanente e uniforme uma vazão de
com altura de água igual a
e coeficiente de rugosidade de Manning de 0,025 . Em determinada seção existe uma elevação de fundo de altura
e a largura do canal é aumentada para b2, de tal modo que o nível da superficie da água não é alterado.
a) Qual a declividade do canal?
b) Qual a largura b2 para não haver mudança no nível da água na transição?
c) Para uma largura
qual o máximo valor de deltaZ (altura do degrau), tal que as condições do escoamento a montante da transição não sejam alteradas?
a) Qual a declividade do canal?
b) Qual a largura b2 para não haver mudança no nível da água na transição?
c) Para uma largura
Passo 1
Enunciado resumido (o que é dado e o que se pede):\n
- Dados:\n
(largura inicial), , profundidade uniforme , coeficiente de Manning .\n - Em uma seção há uma elevação do fundo (degrau) com altura
e a largura do canal após o degrau passa a ser . O nível da superfície da água não se altera na transição (ou seja, o nível absoluto da superfície permanece o mesmo).\n - Perguntas:\n
a) Qual a declividadedo canal que permite escoamento uniforme com os dados acima? \n
b) Qual deve ser a largurapara que, com o degrau de , o nível da superfície não sofra alteração? \n
c) Para, qual o valor máximo de tal que as condições de escoamento a montante não se alterem?
Passo 2
Cálculo da declividade usando a fórmula de Manning (explicação curta e fórmula):\n
A fórmula de Manning para vazão em canal com escoamento uniforme é
A fórmula de Manning para vazão em canal com escoamento uniforme é
onde:\n
-
é a vazão ( ),\n -
é o coeficiente de Manning,\n -
é a área molhada ( ),\n -
é o raio hidráulico definido por ( ), com o perímetro molhado ( ),\n -
é a declividade do canal (adimensional).\n
Para um canal retangular de largurae profundidade :\n
Isolando
da fórmula de Manning:
Passo 3
Aplicando os valores iniciais para obter
:\n
Calculemos ,
,
para
e
:\n
Calculemos
Calcule
:\n
Agora use a fórmula de Manning isolada:
Calcule o numerador e denominador:
Logo
Passo 4
Parte (b): determinar
quando o nível da superfície não muda.\n
Interpretação física e relação entre profundidades:\n
Se o nível da superfície absoluta não muda e o fundo sobe , então a nova profundidade sobre o novo fundo é
Interpretação física e relação entre profundidades:\n
Se o nível da superfície absoluta não muda e o fundo sobe
Para que o nível da superfície não mude precisamos que a nova seção (largura
, profundidade
) transporte a mesma vazão
sob a mesma declividade
e mesmo
. Ou seja, devemos satisfazer novamente a equação de Manning com
conhecido e incógnita
:
com
Isto gera uma equação não-linear para
; vamos resolver numericamente por tentativas (metodologia simples que dá resultado rápido na prova: testar alguns valores e interpolar).
Cálculos por tentativas (mostro algumas iterações com as contas para você reproduzir sem calculadora sofisticada):\n
Usarei (obtido no Passo 3) e
. Lembre que
.\n
Usarei
- Teste
:\n
Como
, precisa-se de largura maior.\n
- Teste
:\n
Agora deu maior que
. Então
está entre
e
.\n
- Refino: teste
:\n
- Teste
:\n
Agora vemos que para
dá
e para
dá
. Interpolando linearmente para
:\n
Arredondando com razoável precisão pratica:
.
Passo 5
Parte (c): máxima
para
sem alterar o escoamento a montante (intuição e teoria do nível específico):\n
Ideia física e fórmula do “E específico” (energia específica):\n
A energia específica (referida ao leito local) para um determinado escoamento é
Ideia física e fórmula do “E específico” (energia específica):\n
A energia específica (referida ao leito local) para um determinado escoamento é
onde
. Para uma dada vazão
e largura
, há um valor mínimo de
que corresponde ao estado crítico. Determinando o mínimo (derivando
em função de
e igualando a zero) obtemos a profundidade crítica
e a energia crítica
Relembre a conservação de energia entre montante (subscrito 1) e jusante (subscrito 2) sem perdas além da mudança de cota do fundo:
quando o nível livre absoluto permanece contínuo (isto vem de
e
). Para que não haja alteração das condições a montante, a energia específica disponível a jusante
não pode ser menor que
; se fosse menor, não existe profundidade real que satisfaça a equação (a seção não admite essa energia) e ocorreria reflexão da mudança para montante (mudança do nível a montante).\n
Portanto a maior que ainda permite que o escoamento a montante permaneça igual é obtida colocando
. Logo
Portanto a maior
Calculemos numericamente:\n
Primeiro (referida ao leito montante):\n
Primeiro
Com
,
,
,
:
Então
Agora
e
para
:\n
Calcule
. Então
Finalmente
Observação prática: o
dado no item (b) era
, que é menor que este máximo, portanto para
um degrau de
não alteraria o escoamento a montante.
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)