Suponhamos que A é uma matriz de ordem 5, B a matriz obtida de A através das seguintes operações elementares sobre as linhas de A (nessa ordem)
L_{1} \rightarrow-\frac{1}{3} L_{1} \quad L_{3} \rightarrow L_{3}+\frac{1}{2} L_{2} \quad L_{3} \leftrightarrow L_{4} \quad L_{5} \rightarrow-4 L_{5}
tal que \operatorname{det} B=8 e D uma matriz quadrada satisfazendo a condição que \left(D B^{-1}\right)^{t}+\frac{1}{2} A^{2}=0.
Calcule:
\operatorname{det} A.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada uma matriz A de ordem 5.
  • A matriz B é obtida a partir de A mediante as operações elementares sobre linhas, nesta ordem:
    1. L_{1} \rightarrow -\dfrac{1}{3}L_{1}.
    2. L_{3} \rightarrow L_{3} + \dfrac{1}{2}L_{2}.
    3. L_{3} \leftrightarrow L_{4} (troca de L_{3} com L_{4}).
    4. L_{5} \rightarrow -4 L_{5}.
  • Foi informado que \det B = 8.
  • Foi também dada uma matriz D que satisfaz \left(D B^{-1}\right)^{t} + \dfrac{1}{2}A^{2}=0. (Essa condição aparece no enunciado, mas vamos primeiro listar os dados essenciais para achar \det A.)
  • O que se pede: calcular \det A.

Passo 2

Lembrar as propriedades fundamentais do determinante relacionadas a operações elementares sobre linhas (isso é crucial; decore estas três regras — elas caem direto em prova):
  • Se uma linha é multiplicada por um escalar k, então o determinante é multiplicado por k. Em símbolos: se de M passa-se a M' multiplicando uma linha por k, então \det M' = k\det M.
  • Se trocamos duas linhas, o determinante muda de sinal: trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Se adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha (isto é, L_i \rightarrow L_i + c L_j com i\neq j), o determinante não muda.
Essas regras vêm da definição do determinante e das propriedades de multilinearidade e alternância. Exemplinho rápido e concreto: se começarmos com uma matriz de determinante 5 e multiplicarmos uma linha por -2, o determinante passa a -10. Se logo depois trocarmos duas linhas, vira 10. Se então adicionarmos metade de outra linha a uma terceira linha, continua 10.

Passo 3

Aplicar cada operação (na ordem informada) à relação entre \det A e \det B, usando as regras do passo anterior.
  1. Operação L_{1} \rightarrow -\dfrac{1}{3}L_{1}: isso multiplica o determinante por -\dfrac{1}{3}. Após essa operação o determinante vale
\det = -\dfrac{1}{3}\det A.
  1. Operação L_{3} \rightarrow L_{3} + \dfrac{1}{2}L_{2}: adicionar múltiplo de outra linha não altera o determinante. Logo permanece
\det = -\dfrac{1}{3}\det A.
  1. Operação L_{3} \leftrightarrow L_{4}: trocar duas linhas multiplica o determinante por -1. Então agora vale
\det = -1\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\det A\right) = \dfrac{1}{3}\det A.
  1. Operação L_{5} \rightarrow -4 L_{5}: multiplicar uma linha por -4 multiplica o determinante por -4. Assim
\det B = -4\cdot\left(\dfrac{1}{3}\det A\right) = -\dfrac{4}{3}\det A.

Passo 4

Resumo em uma única expressão: a sequência de operações transforma \det A em \det B pela multiplicação por um fator que é o produto dos fatores individuais:
\det B = \left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot(1)\cdot(-1)\cdot(-4)\,\det A = -\dfrac{4}{3}\det A.
(Repare que a operação do tipo “adicionar múltiplo de outra linha” contribui com fator 1.)

Passo 5

Usar o valor dado \det B = 8 para encontrar \det A. Da relação do passo anterior:
8 = \det B = -\dfrac{4}{3}\det A.
Isolando \det A,
\det A = 8\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right) = -6.

Passo 6

Comentário final rápido e motivador: a condição envolvendo D e B^{-1} não foi necessária para determinar \det A aqui — a informação crucial eram as operações elementares e \det B. Você acertou se decorou as três regras de como o determinante muda sob cada operação: multiplicação de linha por escalar, troca de linhas e soma de múltiplo de outra linha.
Vai dar certo na prova — respira, revise essas regras com um ou dois exemplos num caderno e pronto!

Resposta

\det A=-6

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