Suponhamos que
é uma matriz de ordem
a matriz obtida de
através das seguintes operações elementares sobre as linhas de
(nessa ordem)
tal que
e
uma matriz quadrada satisfazendo a condição que
.
Calcule:
.
Calcule:
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada uma matriz
de ordem . - A matriz
é obtida a partir de mediante as operações elementares sobre linhas, nesta ordem: -
. -
. -
(troca de com ). -
.
-
- Foi informado que
. - Foi também dada uma matriz
que satisfaz . (Essa condição aparece no enunciado, mas vamos primeiro listar os dados essenciais para achar .) - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Lembrar as propriedades fundamentais do determinante relacionadas a operações elementares sobre linhas (isso é crucial; decore estas três regras — elas caem direto em prova):
- Se uma linha é multiplicada por um escalar
, então o determinante é multiplicado por . Em símbolos: se de passa-se a multiplicando uma linha por , então . - Se trocamos duas linhas, o determinante muda de sinal: trocar duas linhas multiplica o determinante por
. - Se adicionamos a uma linha um múltiplo de outra linha (isto é,
com ), o determinante não muda.
Essas regras vêm da definição do determinante e das propriedades de multilinearidade e alternância. Exemplinho rápido e concreto: se começarmos com uma matriz de determinante
e multiplicarmos uma linha por
, o determinante passa a
. Se logo depois trocarmos duas linhas, vira
. Se então adicionarmos metade de outra linha a uma terceira linha, continua
.
Passo 3
Aplicar cada operação (na ordem informada) à relação entre
e
, usando as regras do passo anterior.
- Operação
: isso multiplica o determinante por . Após essa operação o determinante vale
- Operação
: adicionar múltiplo de outra linha não altera o determinante. Logo permanece
- Operação
: trocar duas linhas multiplica o determinante por . Então agora vale
- Operação
: multiplicar uma linha por multiplica o determinante por . Assim
Passo 4
Resumo em uma única expressão: a sequência de operações transforma
em
pela multiplicação por um fator que é o produto dos fatores individuais:
(Repare que a operação do tipo “adicionar múltiplo de outra linha” contribui com fator
.)
Passo 5
Usar o valor dado
para encontrar
. Da relação do passo anterior:
Isolando
,
Passo 6
Comentário final rápido e motivador: a condição envolvendo
e
não foi necessária para determinar
aqui — a informação crucial eram as operações elementares e
. Você acertou se decorou as três regras de como o determinante muda sob cada operação: multiplicação de linha por escalar, troca de linhas e soma de múltiplo de outra linha.
Vai dar certo na prova — respira, revise essas regras com um ou dois exemplos num caderno e pronto!