( \mathbf{2 , 0} pts.) Uma gota de chuva de raio R=1,5 \mathrm{~mm} cai de uma nuvem que está a uma altura h=1200 m acima do solo. O coeficiente de arrasto C da gota é 0,60 . Suponha que a gota permanece esférica durante toda a queda. A massa específica da água, \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}, é 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e a massa específica do ar, \rho_{a r}, é 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. (a) Qual é a velocidade terminal da gota? (b) Qual seria a velocidade da gota imediatamente antes do impacto com o chão se não existisse a força de arrasto?

Passo 1

O enunciado descreve uma gota esférica de raio R=1,5\mathrm{~mm} que cai de uma altura h=1200\mathrm{~m}. O coeficiente de arrasto é C=0,60. As massas específicas são \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\mathrm{~kg/m^3} e \rho_{a}=1,2\mathrm{~kg/m^3}.
Conteúdo: equilíbrio de forças (peso, empuxo e arrasto) para velocidade terminal e conservação de energia ou cinemática para queda livre sem arrasto.

Passo 2

Na velocidade terminal, a resultante das forças é zero, ou seja,
F_g - F_b = F_D
onde
F_g = m g = \rho_{\mathrm{H_2O}} V g, \quad F_b = \rho_{a} V g, \quad F_D = \tfrac12\,\rho_{a}\,C\,A\,v_t^2.
Então
\rho_{\mathrm{H_2O}} V g - \rho_{a} V g = \tfrac12\,\rho_{a}\,C\,A\,v_t^2.
Isolando v_t obtém-se
v_t = \sqrt{\frac{2(\rho_{\mathrm{H_2O}} - \rho_{a})\,V\,g}{\rho_{a}\,C\,A}}.

Passo 3

Para a esfera vale
V = \frac{4}{3}\pi R^3, \quad A = \pi R^2.
Substituindo em v_t simplifica-se para
v_t = \sqrt{\frac{8(\rho_{\mathrm{H_2O}} - \rho_{a})\,g\,R}{3\,\rho_{a}\,C}}.

Passo 4

Agora substituímos R=1{,}5\times10^{-3}\mathrm{~m}, \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000, \rho_{a}=1{,}2, g=9{,}81\mathrm{~m/s^2}, C=0{,}60:
v_t = \sqrt{\frac{8(1000 - 1{,}2)\,9{,}81\,(1{,}5\times10^{-3})} {3\cdot1{,}2\cdot0{,}60}} \approx \sqrt{54{,}4} \approx 7{,}38\mathrm{~m/s}.

Passo 5

Sem arrasto, a velocidade no impacto vem de conservação de energia (ou cinemática):
v = \sqrt{2\,g\,h}.

Passo 6

Substituindo g=9{,}81\mathrm{~m/s^2} e h=1200\mathrm{~m}:
v = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot1200} \approx \sqrt{23544} \approx 153{,}4\mathrm{~m/s}.

Resposta

(a) \displaystyle v_t\approx7{,}4\mathrm{~m/s}.
(b) \displaystyle v\approx153\mathrm{~m/s}.

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