(
pts.) Potencial de um disco não-condutor
Um disco possui raio externo
e interno
e uma densidade superficial de carga
.
a) Qual é a carga total do disco?
b) Com
no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância
do seu centro?
c) Faça uma análise qualitativa e quantitativa do comportamento do potencial quando
.
d) Qual a expressão do campo elétrico do disco a partir do potencial obtido no item (b).
a) Qual é a carga total do disco?
b) Com
c) Faça uma análise qualitativa e quantitativa do comportamento do potencial quando
d) Qual a expressão do campo elétrico do disco a partir do potencial obtido no item (b).
Passo 1
O enunciado descreve um disco anular não condutor de carga superficial uniforme
, com raio externo
e raio interno
. Precisamos calcular:
a) a carga total ;
b) o potencial elétrico sobre o eixo do disco a uma distância
do centro, tomando
;
c) o comportamento de no regime
, qualitativa e quantitativamente;
d) o campo elétrico a partir de .
a) a carga total
b) o potencial elétrico
c) o comportamento de
d) o campo elétrico a partir de
Passo 2
Para a carga total, usamos que
é carga por área e a área do anel é
. Logo,
Passo 3
Para o potencial em um ponto sobre o eixo a
, modelamos o anel como somatório de anéis elementares de raio
e espessura
. Cada anel carrega
e contribui com
Portanto,
Passo 4
Fazendo a substituição
,
, a integral vira
Assim,
Passo 5
Quando
, fazemos a expansão em
:
Logo,
Qualitativamente, para
o potencial tende a uma constante
, decaindo em ordem
quando
aumenta.
Passo 6
O campo elétrico no eixo é
. Derivando:
Resposta
a)
b)
c) Para
,
ou seja, tende a
com correção em
.
d)