( \mathbf{2 , 5} pts.) Potencial de um disco não-condutor
Um disco possui raio externo \mathbf{R} e interno \mathbf{R} / \mathbf{3} e uma densidade superficial de carga \sigma.
a) Qual é a carga total do disco?
b) Com \mathrm{V}=0 no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a uma distância \mathbf{z}_{1}>0 do seu centro?
c) Faça uma análise qualitativa e quantitativa do comportamento do potencial quando \mathbf{R} \gg \mathbf{Z}.
d) Qual a expressão do campo elétrico do disco a partir do potencial obtido no item (b).

Passo 1

O enunciado descreve um disco anular não condutor de carga superficial uniforme \sigma, com raio externo R e raio interno R/3. Precisamos calcular:
a) a carga total Q;
b) o potencial elétrico V(z_1) sobre o eixo do disco a uma distância z_1>0 do centro, tomando V(\infty)=0;
c) o comportamento de V no regime R\gg z_1, qualitativa e quantitativamente;
d) o campo elétrico a partir de V(z_1).

Passo 2

Para a carga total, usamos que \sigma é carga por área e a área do anel é \pi R^2 - \pi (R/3)^2. Logo,
Q = \sigma \bigl[\pi R^2 - \pi (R/3)^2\bigr] = \sigma \,\pi R^2\Bigl(1 - \tfrac{1}{9}\Bigr) = \frac{8}{9}\,\sigma\pi R^2.

Passo 3

Para o potencial em um ponto sobre o eixo a z_1, modelamos o anel como somatório de anéis elementares de raio r e espessura dr. Cada anel carrega
dQ = \sigma\,(2\pi r\,dr)
e contribui com
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{dQ}{\sqrt{r^2+z_1^2}}.
Portanto,
V(z_1) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{r=R/3}^{R} \frac{\sigma\,2\pi r\,dr}{\sqrt{r^2+z_1^2}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \int_{R/3}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z_1^2}}.

Passo 4

Fazendo a substituição u = r^2 + z_1^2, du = 2r\,dr, a integral vira
\int_{R/3}^{R}\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2+z_1^2}} = \frac12\int_{u=(R/3)^2+z_1^2}^{u=R^2+z_1^2}\!u^{-1/2}du = \Bigl[\sqrt{u}\Bigr]_{(R/3)^2+z_1^2}^{R^2+z_1^2}.
Assim,
V(z_1) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl[ \sqrt{R^2 + z_1^2}\;-\;\sqrt{\tfrac{R^2}{9} + z_1^2} \Bigr].

Passo 5

Quando R\gg z_1, fazemos a expansão em z_1/R\ll1:
\sqrt{R^2+z_1^2}\approx R + \frac{z_1^2}{2R}, \quad \sqrt{\tfrac{R^2}{9}+z_1^2}\approx \frac{R}{3} + \frac{3\,z_1^2}{2R}.
Logo,
V(z_1)\approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl[\bigl(R - \tfrac{R}{3}\bigr) + \bigl(\tfrac{z_1^2}{2R}-\tfrac{3z_1^2}{2R}\bigr)\Bigr] = \frac{\sigma R}{3\epsilon_0} - \frac{\sigma\,z_1^2}{2\epsilon_0\,R} + \cdots.
Qualitativamente, para R\to\infty o potencial tende a uma constante \sigma R/(3\epsilon_0), decaindo em ordem z_1^2 quando z_1 aumenta.

Passo 6

O campo elétrico no eixo é E_z = -dV/dz_1. Derivando:
E_z(z_1) = -\frac{d}{dz_1}\Bigl\{\tfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \bigl[\sqrt{R^2+z_1^2}-\sqrt{\tfrac{R^2}{9}+z_1^2}\bigr]\Bigr\} = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl[ \tfrac{z_1}{\sqrt{R^2+z_1^2}} - \tfrac{z_1}{\sqrt{\tfrac{R^2}{9}+z_1^2}} \Bigr].

Resposta

a) Q = \displaystyle \frac{8}{9}\,\sigma\pi R^2. b) V(z_1) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl[ \sqrt{R^2+z_1^2} -\sqrt{\tfrac{R^2}{9}+z_1^2} \Bigr].
c) Para R\gg z_1,
V(z_1)\approx \frac{\sigma R}{3\epsilon_0} - \frac{\sigma\,z_1^2}{2\epsilon_0\,R} +\cdots,
ou seja, tende a \sigma R/(3\epsilon_0) com correção em \mathcal{O}(z_1^2/R).
d) E_z(z_1) = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Bigl[ \tfrac{z_1}{\sqrt{R^2+z_1^2}} - \tfrac{z_1}{\sqrt{\tfrac{R^2}{9}+z_1^2}} \Bigr].

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