Potencial de um disco não-condutor
Um disco possui raio externo \mathbf{R} e interno \mathbf{R} / \mathbf{3} e uma densidade superficial de carga \sigma.
a) Qual é a carga total do disco?
b) Com \mathrm{V}=0 no infinito, qual é o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central do disco a distância \mathbf{z}_{\mathbf{1}}>0 do seu centro?
c) Faça uma análise qualitativa e quantitativa do comportamento do potencial quando
d) Qual a expressão do campo elétrico do disco a partir do potencial obtido no item (b).

Passo 1

O enunciado descreve um disco não condutor anelar com raio externo R, raio interno R/3 e densidade superficial de carga \sigma. Precisamos calcular:
  1. A carga total do disco.
  2. O potencial elétrico ao longo do eixo a uma distância z_{1}>0, tomando V=0 no infinito.
  3. Análise qualitativa e quantitativa do comportamento de V(z_{1}) nos limites.
  4. O campo elétrico axial a partir do potencial obtido.

Passo 2

Para achar a carga total, note que o disco anelar tem área
A=\pi R^{2}-\pi\bigl(R/3\bigr)^{2} =\pi R^{2}\Bigl(1-\tfrac{1}{9}\Bigr) =\tfrac{8}{9}\,\pi R^{2}.
Como a densidade superficial é \sigma, a carga total é
Q=\sigma\,A =\tfrac{8}{9}\,\pi R^{2}\,\sigma.

Passo 3

Para o potencial no eixo, subdividimos o disco em anéis de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga
dq=\sigma\,(2\pi r\,dr)
e contribui com
dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{dq}{\sqrt{r^{2}+z_{1}^{2}}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\;\frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+z_{1}^{2}}}.
Integrando de r=R/3 a r=R, obtemos
V(z_{1}) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \int_{R/3}^{R} \frac{r\,dr}{\sqrt{r^{2}+z_{1}^{2}}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl[\sqrt{r^{2}+z_{1}^{2}}\Bigr]_{R/3}^{R} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl(\sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}-\sqrt{\tfrac{R^{2}}{9}+z_{1}^{2}}\Bigr).

Passo 4

Analisando limites de V(z_{1}):
  • Para z_{1}\to\infty, usamos \sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}\approx z_{1}+\tfrac{R^{2}}{2z_{1}} e similar para \tfrac{R}{3}. Então
V(z_{1})\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{R^{2}-R^{2}/9}{2\,z_{1}}\Bigr) =\frac{2\,\sigma\,R^{2}}{9\,\varepsilon_{0}}\;\frac{1}{z_{1}} \; =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{z_{1}},
como esperado para uma carga pontual Q.
  • Para z_{1}=0,
V(0) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \bigl(R - \tfrac{R}{3}\bigr) =\frac{\sigma\,R}{3\,\varepsilon_{0}},
ou seja, valor finito no centro.
Em todo z_{1}\ge0, V é decrescente e contínuo.

Passo 5

O campo axial é \displaystyle E_{z}=-\frac{dV}{dz_{1}}. Derivando
V(z_{1}) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \bigl(\sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}-\sqrt{\tfrac{R^{2}}{9}+z_{1}^{2}}\bigr)
vem
E_{z}(z_{1}) =-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{z_{1}}{\sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}} -\frac{z_{1}}{\sqrt{\tfrac{R^{2}}{9}+z_{1}^{2}}}\Bigr).

Resposta

(a) Q=\tfrac{8}{9}\,\pi R^{2}\,\sigma.
(b) V(z_{1}) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl(\sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}-\sqrt{\tfrac{R^{2}}{9}+z_{1}^{2}}\Bigr).
(c) Para z_{1}\to\infty, V\to\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{Q}{z_{1}}; para z_{1}=0, V(0)=\frac{\sigma\,R}{3\,\varepsilon_{0}}. Em todo o eixo, V é decrescente e contínuo.
(d) E_{z}(z_{1}) =-\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \Bigl(\frac{z_{1}}{\sqrt{R^{2}+z_{1}^{2}}} -\frac{z_{1}}{\sqrt{\tfrac{R^{2}}{9}+z_{1}^{2}}}\Bigr).

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