(2,5 pts.) Potencial elétrico de um quadrado de cargas.
Um quadrado de lado L possui quatro cargas elétricas localizadas nos vértices.
Uma das cargas é 2 Q e as demais são Q. Determine o potencial elétrico no centro do quadrado.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico no centro de um quadrado de lado L que tem quatro cargas pontuais nos vértices: uma carga 2Q e três cargas Q. O conteúdo é superposição de potenciais e usaremos a fórmula do potencial de uma carga pontual,
V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r}.

Passo 2

Precisamos calcular a distância r do centro do quadrado até qualquer vértice. O centro está a meio lado em x e meio lado em y, então
r = \sqrt{\Bigl(\tfrac{L}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{L}{2}\Bigr)^2} = \frac{L}{2}\,\sqrt{2}.

Passo 3

Pelo princípio da superposição, o potencial total no centro é a soma dos potenciais de cada carga. Seja k = \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Então
V = k\sum_{i=1}^{4}\frac{q_i}{r} = k\;\frac{1}{r}\bigl(2Q + Q + Q + Q\bigr) = k\;\frac{5Q}{r}.

Passo 4

Substituindo r = \tfrac{L}{2}\sqrt{2} em
V = k\,\frac{5Q}{\tfrac{L}{2}\sqrt{2}}
obtemos
V = k\,5Q \cdot \frac{2}{L\sqrt{2}} = k\,\frac{10Q}{L\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}\,\frac{kQ}{L}.

Passo 5

Simplificando \tfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}, temos
V = \frac{5\sqrt{2}}{L}\;kQ = \frac{5\sqrt{2}}{L}\;\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}.

Resposta

V = \frac{5\sqrt{2}\,Q}{4\pi\varepsilon_0\,L}.

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