( \mathbf{2 , 5} pts) Use o Teorema de Green para calcular
\oint_{C} y d x+x d y
onde C é a circunferència de raio 2 centradà na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C} y\,dx + x\,dy
onde C é a circunferência de raio 2 centrada na origem, orientada positivamente (sentido anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral de área sobre o disco D de raio 2.

Passo 2

No Teorema de Green, identificamos
P(x,y)=y \quad\text{e}\quad Q(x,y)=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=1.
Assim, o integrando do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =1-1=0.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}y\,dx+x\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como essa função vale zero em todo D, a integral dupla é zero.

Resposta

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