e pede, para todos os possíveis valores do parâmetro b, determinar:
(i) para quais b o sistema tem solução única;
(ii) para quais b o sistema não tem solução;
(iii) para quais b o sistema tem infinitas soluções.
Informações relevantes do enunciado:
Há um parâmetro b que aparece apenas na terceira equação (nos coeficientes e no termo independente).
O sistema é 3 equações e 3 incógnitas (x,y,z).
Precisamos classificar todos os valores de b nas três situações pedidas.]
Passo 2
Primeira redução direta (eliminação simples entre equações 1 e 2) — técnica: subtrair equações para eliminar incógnitas.
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x+3y+z)-(x+2y+z)=1-1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Explicação didática: subtração de equações é válida porque estamos simplesmente combinando as igualdades. Aqui os termos em x e z se cancelaram, ficando uma equação imediata para y. Então já sabemos que, independentemente de b,
y=0.
Passo 3
Substituir y=0 nas equações 1 e 3 para reduzir o sistema a duas equações em x e z.
Da equação 1, com y=0:
x+z=1 \quad\Rightarrow\quad x=1-z.
Da equação 3, com y=0 e substituindo x=1-z:
3x+\left(b^{2}-1\right)z=b.
Substituindo x:
3(1-z)+\left(b^{2}-1\right)z=b.
Desenvolvendo:
3-3z+(b^{2}-1)z=b.
Agrupando os termos em z:
3 + \bigl(b^{2}-1-3\bigr)z = b.
Simplificando o coeficiente de z:
3 + (b^{2}-4)z = b.
Isolando o termo com z:
(b^{2}-4)z = b-3.
Comentário didático: chegamos a uma equação simples da forma A z = C, com A=b^{2}-4 e C=b-3. Agora analisamos o caso A\neq 0 e A=0 separadamente.
Passo 4
Caso 1: b^{2}-4 \neq 0 (ou seja, b\neq \pm 2).
Se b^{2}-4\neq 0, então podemos dividir por esse número e obter
z = \frac{b-3}{b^{2}-4}.
Com z encontrado, voltamos a x=1-z e já temos y=0. Portanto há exatamente uma solução (x,y,z) determinada por essas fórmulas.
Interpretação linear-algebraica (fórmula curta): a matriz dos coeficientes tem determinante
\det(A)=b^{2}-4,
logo se \det(A)\neq 0 a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Aqui isso corresponde a b\neq \pm 2.
Passo 5
Caso 2: b^{2}-4=0, i.e. b=2 ou b=-2.
Nesse caso o coeficiente de z na equação reduzida é zero, então a equação do Passo 3 fica
0\cdot z = b-3,
ou seja
0 = b-3.
Agora verificamos a consistência:
Para b=2: o lado direito é b-3=2-3=-1, logo a equação vira 0=-1, impossível. Portanto o sistema é inconsistente para b=2 — ou seja, não tem solução.
Para b=-2: o lado direito é b-3=-2-3=-5, logo a equação vira 0=-5, também impossível. Portanto o sistema é inconsistente para b=-2 — não tem solução.
Didática sobre as possibilidades: quando o coeficiente que multiplica uma incógnita some (aqui b^{2}-4=0), a equação reduzida pode virar uma identidade 0=0 (o que deixa variável livre e pode gerar infinitas soluções) ou uma contradição 0=C com C\neq0 (o que gera ausência de solução). No nosso caso, para b=\pm 2 a equação ficou 0=(b-3) com b-3\neq0, logo contradição.
Passo 6
Verificação final sobre infinitas soluções.
Para haver infinitas soluções precisaríamos que, ao reduzir o sistema, uma equação se tornasse identicamente verdadeira 0=0 deixando uma liberdade (uma variável livre). Isso exigiria que, quando b^{2}-4=0, também tivéssemos b-3=0 simultaneamente, i.e. b=\pm 2 e b=3 ao mesmo tempo — o que é impossível. Portanto não existe nenhum valor de b que produza infinitas soluções.
Passo 7
Conclusão resumida (repetição rápida das razões, para fixar): usar eliminação mostrou y=0 sempre; então o sistema reduz-se a duas equações em x e z cuja consistência depende do fator b^{2}-4. Se b^{2}-4\neq 0 (isto é, b\neq\pm2) obtemos z e x únicos. Se b=\pm2 obtemos uma contradição 0=(b-3) com RHS diferente de zero, logo sem solução. Não há b que torne o sistema com infinitas soluções.
Resposta
(i) O sistema tem solução única para todos os valores de b tais que b\neq \pm 2.
(ii) O sistema não tem solução para b=2 e para b=-2.
(iii) Não existe valor de b para o qual o sistema tenha infinitas soluções.