3{ }^{\text {a }} Questão: (6 pontos) Calcule o determinante da matriz abaixo:
\text { Sol. } A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 0 & 6 \\\\ 1 & -1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right] L_{2} \Delta \mapsto L_{4} \sim\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 0 & 6 \end{array}\right]-L_{1}+L_{3} \sim
\sim\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0\end{array}\right] 2 L_{3}+L_{2} \sim\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0\end{array}\right] \quad linha nula \Rightarrow \operatorname{det} C=0
\operatorname{det} A=-\operatorname{det} C=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 0 & 6 \\\\ 1 & -1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right].
Pergunta: qual é \det A?
Informações relevantes (os elementos da matriz) estão na expressão acima e serão usadas nas operações por linhas.

Passo 2

Antes de começar a manipular, lembrança rápida e importante sobre operações por linhas e determinantes (isso é essencial para a prova):
  • Trocar duas linhas (por exemplo, L_i \leftrightarrow L_j) muda o sinal do determinante: se a matriz vira B por uma troca, então \det B = -\det A.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha (por exemplo, L_i \leftarrow L_i + kL_j) NÃO altera o determinante: \det permanece igual.
  • Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k: se L_i \leftarrow k L_i, então o determinante multiplica por k.
Vamos usar essas regras para transformar a matriz em forma mais simples (triangular ou com linha nula). Sempre que eu aplicar uma operação, vou dizer se ela altera o determinante.

Passo 3

Primeira operação: trocar L_2 com L_4 para colocar um pivô fácil na posição (2,2). Faço
L_2 \leftrightarrow L_4.
Isso é uma troca de linhas, portanto o determinante muda de sinal. A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 3 \\\\ 2 & 2 & 0 & 6 \end{array}\right],
e agora vale \det(\text{nova}) = -\det A. (Guarda essa relação; no final voltamos ao sinal.)

Passo 4

Agora vamos zerar a entrada (3,1) usando L_1. Faço
L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
Esta é uma soma de múltiplo de linha (com k=-1), portanto o determinante NÃO muda. Calculando:
L_3 - L_1 = [1-1,\\\ -1-1,\\\ 1-1,\\\ 3-3] = [0,\\\ -2,\\\ 0,\\\ 0].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & 0 & 6 \end{array}\right].

Passo 5

Agora zeramos a entrada (4,1) usando L_1. Faço
L_4 \leftarrow L_4 - 2L_1.
Também é soma de múltiplo de linha (determinante inalterado). Calculando:
L_4 - 2L_1 = [2-2\cdot1,\\\ 2-2\cdot1,\\\ 0-2\cdot1,\\\ 6-2\cdot3] = [0,\\\ 0,\\\ -2,\\\ 0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right].
Até aqui só houve uma troca de linhas (Passo 3), que inverteu o sinal do determinante; as operações do Passo 4 e 5 não mudaram o valor numérico do determinante da matriz alterada.

Passo 6

Observe as linhas L_2=[0\\\ 4\\\ 0\\\ 0] e L_3=[0\\\ -2\\\ 0\\\ 0]. Posso anular L_2 somando 2 vezes L_3 em L_2:
L_2 \leftarrow L_2 + 2L_3.
Esta é novamente soma de múltiplo de linha, então o determinante não muda. Calculando:
L_2 + 2L_3 = [0+2\cdot0,\\\ 4+2\cdot(-2),\\\ 0+2\cdot0,\\\ 0+2\cdot0] = [0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 0].
A matriz torna-se
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Temos agora uma linha nula (segunda linha). Propriedade crucial: se uma matriz tem uma linha (ou coluna) composta só de zeros, então o determinante é zero. Assim, a matriz atual tem determinante 0. Lembrando que a única operação que mudou o sinal foi a troca L_2\leftrightarrow L_4 no Passo 3; mas multiplicar 0 por -1 permanece 0. Portanto tanto a matriz original quanto a matriz alterada têm determinante 0.

Resposta

\det A = 0

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