Pergunta: qual é \det A?
Informações relevantes (os elementos da matriz) estão na expressão acima e serão usadas nas operações por linhas.
Passo 2
Antes de começar a manipular, lembrança rápida e importante sobre operações por linhas e determinantes (isso é essencial para a prova):
Trocar duas linhas (por exemplo, L_i \leftrightarrow L_j) muda o sinal do determinante: se a matriz vira B por uma troca, então \det B = -\det A.
Somar a um linha um múltiplo de outra linha (por exemplo, L_i \leftarrow L_i + kL_j) NÃO altera o determinante: \det permanece igual.
Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k: se L_i \leftarrow k L_i, então o determinante multiplica por k.
Vamos usar essas regras para transformar a matriz em forma mais simples (triangular ou com linha nula). Sempre que eu aplicar uma operação, vou dizer se ela altera o determinante.
Passo 3
Primeira operação: trocar L_2 com L_4 para colocar um pivô fácil na posição (2,2). Faço
L_2 \leftrightarrow L_4.
Isso é uma troca de linhas, portanto o determinante muda de sinal. A matriz fica
Até aqui só houve uma troca de linhas (Passo 3), que inverteu o sinal do determinante; as operações do Passo 4 e 5 não mudaram o valor numérico do determinante da matriz alterada.
Passo 6
Observe as linhas L_2=[0\\\ 4\\\ 0\\\ 0] e L_3=[0\\\ -2\\\ 0\\\ 0]. Posso anular L_2 somando 2 vezes L_3 em L_2:
L_2 \leftarrow L_2 + 2L_3.
Esta é novamente soma de múltiplo de linha, então o determinante não muda. Calculando:
Temos agora uma linha nula (segunda linha). Propriedade crucial: se uma matriz tem uma linha (ou coluna) composta só de zeros, então o determinante é zero. Assim, a matriz atual tem determinante 0. Lembrando que a única operação que mudou o sinal foi a troca L_2\leftrightarrow L_4 no Passo 3; mas multiplicar 0 por -1 permanece 0. Portanto tanto a matriz original quanto a matriz alterada têm determinante 0.