2^{\mathbf{2}} Questão Uma barra condutora cilíndrica de raio \mathrm{a}= 2,5 \mathrm{~cm} e comprimento \mathrm{L}=10,0 \mathrm{~m} está no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio b=6,0 \mathrm{~cm} e mesmo comprimento L . A carga da barra é \mathrm{q}=17,7 \times 10^{-12} \mathrm{C} e a carga da casca é - 2q. Desprezando os efeitos das bordas e utilizando a Lei de Gauss, determine: (a) O módulo do campo elétrico a uma distância radial \mathrm{r}=5,0 \mathrm{~cm}. ( 1,5 ponto); (b) A carga na superfície externa da casca ( 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema coaxial em que um fio cilíndrico de raio a=2{,}5\:\mathrm{cm} e comprimento L=10{,}0\:\mathrm{m} tem carga q=17{,}7\times10^{-12}\:\mathrm{C}. Esse fio está envolvido por uma casca metálica fina de raio b=6{,}0\:\mathrm{cm} e mesmo comprimento L, com carga total -2q. Desprezando efeitos de borda, pede-se:
(a) o módulo do campo elétrico a r=5{,}0\:\mathrm{cm}, que está na região entre fio e casca;
(b) a carga na superfície externa da casca.
Conteúdo: simetria cilíndrica e Lei de Gauss em condutores.

Passo 2

Para a<r<b escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica de raio r e comprimento L. Pela Lei de Gauss:
\Phi = E\,(2\pi rL) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga dentro da superfície. Aqui Q_{\text{int}}=q. Logo
E(r) = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0\,L\,r}.

Passo 3

Substituindo q=17{,}7\times10^{-12}\:\mathrm{C}, \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\:\mathrm{C^2/(N\,m^2)}, L=10{,}0\:\mathrm{m} e r=0{,}05\:\mathrm{m}:
E(0{,}05) = \frac{17{,}7\times10^{-12}}{2\pi\times8{,}85\times10^{-12}\times10{,}0\times0{,}05} \approx0{,}64\;\mathrm{V/m}.

Passo 4

Em equilíbrio eletrostático, o campo no interior do material da casca deve ser zero. Para anular o campo causado pela carga q no interior da casca, a superfície interna da casca carrega -q. Como a casca tem carga total -2q, a carga na superfície externa é
Q_{\mathrm{ext}} = -2q - (-q) = -q = -17{,}7\times10^{-12}\:\mathrm{C}.

Resposta

(a) E(5{,}0\:\mathrm{cm})\approx0{,}64\:\mathrm{V/m}.
(b) Q_{\text{superfície externa}}=-17{,}7\times10^{-12}\:\mathrm{C}.í

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