7^{\text {a }} QUESTÃO: Julgue os itens subsequentes.
A) Apenas um item está certo.
B) Apenas os itens I e II estão certos.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
I) Quando o fluido quente tem uma taxa de capacidade calorífica muito maior que a do fluido frio, a temperatura do fluido quente diminui enquanto a do fluido frio permanece aproximadamente constante.
II) Quando os fluidos frio e quente têm a mesma taxa de capacidade calorífica, a diferença de temperatura ao longo do trocador de calor sofre uma grande variação.
III) Quando o fluido frio tem uma taxa de capacidade calorífica muito maior que a do fluido quente, a temperatura do fluido quente diminui enquanto a do fluido frio permanece aproximadamente constante.

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue os três itens I, II e III sobre o comportamento de temperaturas em trocadores de calor quando as “taxas de capacidade calorífica” dos fluidos mudam, e então escolha a alternativa correta entre A, B, C, D ou E. Os itens são:
I) Quando o fluido quente tem uma taxa de capacidade calorífica muito maior que a do fluido frio, a temperatura do fluido quente diminui enquanto a do fluido frio permanece aproximadamente constante.
II) Quando os fluidos frio e quente têm a mesma taxa de capacidade calorífica, a diferença de temperatura ao longo do trocador de calor sofre uma grande variação.
III) Quando o fluido frio tem uma taxa de capacidade calorífica muito maior que a do fluido quente, a temperatura do fluido quente diminui enquanto a do fluido frio permanece aproximadamente constante.
O objetivo é decidir, para cada item, se é verdadeiro ou falso, e então indicar qual alternativa (A–E) corresponde à combinação correta.

Passo 2

Primeiro preciso explicar o conceito chave: taxa de capacidade calorífica. A taxa de capacidade calorífica (também chamada de “capacidade térmica mássica por unidade de tempo” no contexto de escoamento) é definida por
C = \dot{m}\,c_p,
onde \dot{m} é a vazão mássica do fluido e c_p é o calor específico a pressão constante. A unidade típica é \mathrm{W/K} (ou \mathrm{J/(s\cdot K)}). Fisicamente, C diz quanto de energia (potência) é necessária para mudar a temperatura do fluido em 1\\ \mathrm{K}: quanto maior C, mais “inércia térmica” o fluido tem — isto é, mais energia é necessária para provocar uma variação de temperatura dada.
Uma relação muito útil, em regime estacionário, é a conservação de energia no trocador:
q = C_h\,(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}) = C_c\,(T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}),
onde q é a taxa de calor trocada do fluido quente para o frio, C_h e C_c são as taxas de capacidade calorífica do fluido quente e frio, respectivamente, e os T são as temperaturas de entrada/saída correspondentes. Essa equação diz que a energia perdida pelo quente é ganha pelo frio (sem perdas externas).
Vou usar esse raciocínio simples (energia balanceada) para analisar os limites C_h \gg C_c, C_h=C_c e C_c\gg C_h, porque são os cenários descritos nos itens.

Passo 3

Análise do caso C_h \gg C_c (o fluido quente tem capacidade calorífica muito maior que a do frio).
Da equação de conservação:
q = C_h\,\Delta T_h = C_c\,\Delta T_c,
onde \Delta T_h = T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}} e \Delta T_c = T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}. Se C_h é muito maior que C_c, para que C_h\,\Delta T_h = C_c\,\Delta T_c seja satisfeito temos que \Delta T_h ser muito pequena (porque multiplica um número grande) enquanto \Delta T_c será relativamente grande (porque multiplica um número pequeno). Em palavras: o fluido com grande C praticamente não muda de temperatura; o fluido com pequeno C sofre a maior variação de temperatura.
Agora compare isso com o item I. O item I afirma que, quando o fluido quente tem C muito maior que o frio, a temperatura do fluido quente diminui e a do frio permanece aproximadamente constante. Isso é o inverso do que a conservação de energia indica: na verdade, quando C_h é muito maior, o fluido quente praticamente NÃO muda de temperatura e quem muda bastante é o fluido frio. Portanto o item I é falso.

Passo 4

Análise do caso C_h = C_c (mesma taxa de capacidade calorífica).
Novamente, da mesma equação:
q = C\,\Delta T_h = C\,\Delta T_c \quad\Rightarrow\quad \Delta T_h = \Delta T_c
(em módulo, as temperaturas mudam igualmente, com sinais opostos). Ou seja, ambos os fluidos têm mudanças de temperatura com a mesma amplitude. Para entender como a diferença de temperatura entre os fluidos varia ao longo do trocador, pode-se escrever o balanço diferencial num pequeno elemento do trocador (vamos fazer para ilustrar, sem entrar em formalismo pesado):
Em um elemento diferencial de área dA, o calor trocado é dq = U\,\Delta T\,dA (onde U é o coeficiente global de troca e \Delta T é a diferença local de temperatura entre os fluidos). As variações de temperatura nesse elemento são
C\,dT_h = -dq = -U\,\Delta T\,dA,\qquad C\,dT_c = +dq = U\,\Delta T\,dA.
Subtraindo as duas equações:
d\Delta T = dT_h - dT_c = -\frac{2U}{C}\,\Delta T\,dA,
que tem solução exponencial \Delta T(A) = \Delta T(0)\,e^{-2UA/C}: a diferença de temperatura decresce ao longo do trocador de forma exponencial. O ponto importante: quando C_h=C_c, o coeficiente de decaimento da diferença é proporcional a 2U/C — ou seja, a diferença de temperatura tende a variar (diminuir) de forma relativamente rápida ao longo do trocador (não fica praticamente constante).
O item II diz que, quando C_h=C_c, “a diferença de temperatura ao longo do trocador de calor sofre uma grande variação.” Essa afirmação é compatível com o comportamento exponencial acima (a diferença varia de forma significativa, decaindo até valores baixos). Em contraste, quando um dos C é muito maior que o outro, o coeficiente de decaimento é menor (porque o termo 1/C_h+1/C_c fica menor se um C é muito grande), e a diferença de temperatura muda pouco ao longo do trocador. Portanto o item II é verdadeiro.

Passo 5

Análise do caso C_c \gg C_h (o fluido frio tem taxa de capacidade calorífica muito maior que a do quente).
Esse é exatamente o espelho do caso do Passo 3. Pela mesma razão da conservação de energia:
q = C_h\,\Delta T_h = C_c\,\Delta T_c.
Se C_c é muito maior, então \Delta T_c deve ser muito pequena (o frio praticamente não muda de temperatura) enquanto \Delta T_h será relativamente grande (o quente muda bastante). Em palavras: quando o fluido frio tem C muito maior, a temperatura do fluido frio permanece aproximadamente constante e a do fluido quente varia consideravelmente (diminui). O item III afirma exatamente isso, logo o item III é verdadeiro.

Passo 6

Resumo lógico dos itens:
  • I: falso (invertido).
  • II: verdadeiro.
  • III: verdadeiro.
Portanto os itens II e III estão corretos e o item I está incorreto. A alternativa que corresponde a “Apenas os itens II e III estão certos” é a alternativa D.

Resposta

D

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