[Nise - Exemplo 4.5] Determine o tempo de pico, o pico máximo, o tempo de subida e o tempo de acomodação da seguinte função de transferência:
G(s)=\frac{100}{s^{2}+15 s+100}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
G(s)=\frac{100}{s^{2}+15\,s+100}
e pede as especificações de tempo de resposta de um sistema de segunda ordem subamortecido: tempo de pico, pico máximo (overshoot), tempo de subida e tempo de acomodação. Para resolver, vamos identificar o amortecimento \zeta e a frequência natural \omega_{n} e aplicar as fórmulas padrão da resposta ao degrau.

Passo 2

Colocamos o denominador em forma padrão
s^{2}+2\zeta\omega_{n}\,s+\omega_{n}^{2}
Comparando com s^{2}+15\,s+100, temos
\omega_{n}^{2}=100\;\Rightarrow\;\omega_{n}=10, \qquad 2\zeta\omega_{n}=15\;\Rightarrow\;\zeta=\frac{15}{2\cdot10}=0,75.

Passo 3

O tempo de pico t_{p} ocorre no primeiro máximo da resposta e vale
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}, \quad \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Calculando
\omega_{d}=10\sqrt{1-0,75^{2}}=10\sqrt{0,4375}\approx6,614,
t_{p}=\frac{\pi}{6,614}\approx0,475\\ \text{s}.

Passo 4

O pico máximo (overshoot) em relação ao valor final é
M_{p}=\exp\!\Bigl(-\frac{\pi\,\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Bigr).
Substituindo \zeta=0,75:
M_{p}=\exp\!\Bigl(-\frac{\pi\cdot0,75}{\sqrt{0,4375}}\Bigr) \approx\exp(-3,564)\approx0,0284\quad(2,84\%).

Passo 5

O tempo de subida t_{r} (de 0 a 100 % do valor final) para sistema subamortecido pode ser aproximado por
t_{r}\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}(\zeta)}{\omega_{d}}.
Como \operatorname{arccos}(0,75)\approx0,723 rad,
t_{r}\approx\frac{\pi-0,723}{6,614}\approx0,366\\ \text{s}.

Passo 6

O tempo de acomodação T_{s} (para a banda de 2 %) é dado por
T_{s}\approx\frac{4}{\zeta\,\omega_{n}} =\frac{4}{0,75\cdot10}\approx0,533\\ \text{s}.

Resposta

t_{p}\approx0,475\\ \text{s}
M_{p}\approx2,84\%
t_{r}\approx0,366\\ \text{s}
T_{s}\approx0,533\\ \text{s}

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