Qual é a lei do movimento para um corpo com aceleração uniforme ax, velocidade inicial vx0 e posição inicial x0?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A aceleração é uniforme e igual a
(constante). - A velocidade inicial no instante
é . - A posição inicial no instante
é .
O que o problema pede:
- Determinar a lei do movimento (isto é,
e ) para esse corpo com aceleração constante .
(Se necessário, também fornecer uma relação entre velocidade e posição que não envolva o tempo.)
Passo 2
Entender as relações básicas entre posição, velocidade e aceleração. Estas são definições diferenciais que usamos sempre:
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Aqui,
é dada como constante (não depende de
),
é a velocidade em função do tempo e
é a posição em função do tempo. Essas fórmulas significam que acelerar é mudar a velocidade no tempo, e a velocidade descreve como a posição muda no tempo.
Passo 3
Integrar a definição de aceleração para obter a velocidade. Como
é constante, escrevemos:
Integramos ambos os lados em relação ao tempo
. A integração é o processo inverso da diferenciação; quando
de algo dá
, então esse “algo” é uma antiderivada de
.
Como
é constante:
onde
é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial. Pela condição
temos:
Portanto:
Passo 4
Interpretação física rápida da fórmula de
. Ela diz que a velocidade no instante
começa em
e muda linearmente com taxa
. Se
a velocidade aumenta; se
(aceleração negativa) a velocidade diminui.
Passo 5
Integrar a expressão da velocidade para obter a posição. Partimos de
Integramos em
:
Calculando as integrais:
onde
é outra constante de integração. Usando a condição inicial
:
Portanto:
Passo 6
Uma relação útil entre velocidade e posição que não envolve o tempo pode ser obtida eliminando
. Um modo elegante é usar a regra da cadeia:
. Assim,
Integramos esta equação separando variáveis:
Como
é constante:
Multiplicando por
:
Essa fórmula é muito útil em problemas onde o tempo não aparece ou não é desejado calcular.
Passo 7
Verificações rápidas e dica prática para a prova:
- Cheque sempre as condições iniciais substituindo
: em e deve aparecer e . - As unidades conferem: termo
tem unidade de posição, termo também (aceleração vezes tempo ao quadrado dá distância). - Exemplo numérico simples (só para treinar): se
, e , então e . Tenta substituir e para ver se faz sentido.
Força aí — você consegue! Essas fórmulas são clássicas e caem muito em prova; decorar as formas e saber deduzi-las rapidinho com uma integração é tudo.