Qual é a lei do movimento para um corpo com aceleração uniforme ax, velocidade inicial vx0 e posição inicial x0?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A aceleração é uniforme e igual a a_x (constante).
  • A velocidade inicial no instante t=0 é v_{x0}.
  • A posição inicial no instante t=0 é x_0.
O que o problema pede:
  • Determinar a lei do movimento (isto é, v_x(t) e x(t)) para esse corpo com aceleração constante a_x.
    (Se necessário, também fornecer uma relação entre velocidade e posição que não envolva o tempo.)

Passo 2

Entender as relações básicas entre posição, velocidade e aceleração. Estas são definições diferenciais que usamos sempre:
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a_x = \frac{dv_x}{dt}.
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v_x = \frac{dx}{dt}.
Aqui, a_x é dada como constante (não depende de t), v_x(t) é a velocidade em função do tempo e x(t) é a posição em função do tempo. Essas fórmulas significam que acelerar é mudar a velocidade no tempo, e a velocidade descreve como a posição muda no tempo.

Passo 3

Integrar a definição de aceleração para obter a velocidade. Como a_x é constante, escrevemos:
\frac{dv_x}{dt}=a_x.
Integramos ambos os lados em relação ao tempo t. A integração é o processo inverso da diferenciação; quando \dfrac{d}{dt} de algo dá a_x, então esse “algo” é uma antiderivada de a_x.
\int \frac{dv_x}{dt}\,dt = \int a_x\,dt \quad\Rightarrow\quad \int dv_x = \int a_x\,dt.
Como a_x é constante:
v_x(t) = a_x t + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial. Pela condição v_x(0)=v_{x0} temos:
v_{x0} = a_x\cdot 0 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = v_{x0}.
Portanto:
v_x(t)=v_{x0}+a_x t.

Passo 4

Interpretação física rápida da fórmula de v_x(t). Ela diz que a velocidade no instante t começa em v_{x0} e muda linearmente com taxa a_x. Se a_x>0 a velocidade aumenta; se a_x<0 (aceleração negativa) a velocidade diminui.

Passo 5

Integrar a expressão da velocidade para obter a posição. Partimos de
\frac{dx}{dt}=v_x(t)=v_{x0}+a_x t.
Integramos em t:
\int \frac{dx}{dt}\,dt = \int (v_{x0}+a_x t)\,dt \quad\Rightarrow\quad \int dx = \int v_{x0}\,dt + \int a_x t\,dt.
Calculando as integrais:
x(t) = v_{x0} t + \frac{1}{2} a_x t^2 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Usando a condição inicial x(0)=x_0:
x_0 = v_{x0}\cdot 0 + \frac{1}{2} a_x\cdot 0^2 + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = x_0.
Portanto:
x(t)=x_0 + v_{x0} t + \frac{1}{2} a_x t^2.

Passo 6

Uma relação útil entre velocidade e posição que não envolve o tempo pode ser obtida eliminando t. Um modo elegante é usar a regra da cadeia: a_x = \dfrac{dv_x}{dt} = \dfrac{dv_x}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt} = v_x \dfrac{dv_x}{dx}. Assim,
v_x \frac{dv_x}{dx} = a_x.
Integramos esta equação separando variáveis:
\int_{v_{x0}}^{v_x} v_x\,dv_x = \int_{x_0}^{x} a_x\,dx.
Como a_x é constante:
\frac{1}{2}\bigl(v_x^2 - v_{x0}^2\bigr) = a_x (x - x_0).
Multiplicando por 2:
v_x^2 = v_{x0}^2 + 2 a_x (x - x_0).
Essa fórmula é muito útil em problemas onde o tempo não aparece ou não é desejado calcular.

Passo 7

Verificações rápidas e dica prática para a prova:
  • Cheque sempre as condições iniciais substituindo t=0: em v_x(t) e x(t) deve aparecer v_{x0} e x_0.
  • As unidades conferem: termo v_{x0} t tem unidade de posição, termo \tfrac{1}{2}a_x t^2 também (aceleração vezes tempo ao quadrado dá distância).
  • Exemplo numérico simples (só para treinar): se a_x=2, v_{x0}=3 e x_0=5, então v_x(t)=3+2t e x(t)=5+3t+t^2. Tenta substituir t=0 e t=1 para ver se faz sentido.
Força aí — você consegue! Essas fórmulas são clássicas e caem muito em prova; decorar as formas e saber deduzi-las rapidinho com uma integração é tudo.

Resposta

v_x(t)=v_{x0}+a_x t
x(t)=x_0+v_{x0} t+\dfrac{1}{2}a_x t^2
v_x^2=v_{x0}^2+2a_x(x-x_0)

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