Questāo 4 ( 0,75 pontos)
Um avião a jato em decolagem pode produzir um som de intensidade 10,0 W / m^{2} a 30,0 m de distância. Você, contudo, prefere o som tranquilo de uma conversa normal, que é 1,0 \mathrm{~mW} / \mathrm{m}^{2}. Suponha que o avião se comporte como uma fonte sonora pontual. (a) Qual é a distância mínima do aeroporto que sua casa precisa estar para que você possa conservar sua paz de espírito? (b) Qual é a intensidade sonora que chega à sua amiga se ela mora duas vezes mais longe da pista do que você? (c) Que potência sonora o jato produz ao decolar?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (pegos do enunciado):
  • A intensidade sonora na distância 30,0\\ \text{m} é \,I_1 = 10,0\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.
  • A intensidade “tranquila” desejada é \,I_{\text{tranq}} = 1,0\\ \mathrm{mW/m^{2}} = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.
  • Supõe-se que o avião seja uma fonte pontual sonora (irradia igualmente em todas as direções).
Perguntas:
(a) Qual a distância mínima r tal que a intensidade chegue em \,I_{\text{tranq}}\, na sua casa?
(b) Se sua amiga mora a 2 vezes a sua distância da pista, qual intensidade chega a ela?
(c) Qual é a potência sonora P que o jato produz ao decolar?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma fonte pontual que irradia potência total P igualmente em todas as direções, a potência atravessa uma esfera de raio r. A área dessa esfera é 4\pi r^{2}.
  • A intensidade sonora I em uma distância r é a potência por unidade de área nessa esfera, logo:
I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • I é a intensidade em \mathrm{W/m^{2}} (quanto de potência passa por cada metro quadrado),
  • P é a potência total acústica emitida pela fonte em \mathrm{W},
  • r é a distância da fonte em \mathrm{m},
  • 4\pi r^{2} é a área da superfície da esfera de raio r.
  • Dessa fórmula também tiramos formas úteis para calcular P ou r:
P = 4\pi r^{2} I,\qquad r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}}.
  • Outra maneira prática (muito usada em prova) é usar razões: se em r_1 a intensidade é I_1 e em r_2 a intensidade é I_2, então
\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^{2}}{r_1^{2}} \quad\Rightarrow\quad r_2 = r_1\sqrt{\dfrac{I_1}{I_2}}.
Esta relação vem simplesmente de igualar as duas expressões \dfrac{P}{4\pi r^{2}} e cancelar P/(4\pi).

Passo 3

Calcular a potência sonora P do jato usando o dado em 30,0\\ \text{m} (isto responde parte da pergunta (c) e será útil para (a) e (b)).
Usamos
P = 4\pi r^{2} I.
Substituindo r=30,0\\ \text{m} e I=10,0\\ \mathrm{W/m^{2}}:
r^{2}=(30,0)^{2}=900\\ \mathrm{m^{2}},
4\pi r^{2}=4\pi\cdot900=3600\pi\\ \mathrm{m^{2}},
P = 10,0\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 3600\pi\\ \mathrm{m^{2}} = 36000\pi\\ \mathrm{W}.
Agora aproximando \pi\approx3,1416:
P \approx 36000\times3,1416 \\ \mathrm{W} \approx 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência sonora do jato é aproximadamente \,1,13\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Resolver (a): distância mínima r para que a intensidade seja \,I_{\text{tranq}}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Usarei a relação por proporção (é mais simples e evita recomputar P, mas dá o mesmo resultado):
r = r_{1}\sqrt{\dfrac{I_{1}}{I_{\text{tranq}}}}.
Substituindo r_{1}=30,0\\ \mathrm{m}, I_{1}=10,0\\ \mathrm{W/m^{2}}, I_{\text{tranq}}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
\frac{I_{1}}{I_{\text{tranq}}}=\frac{10,0}{1,0\times10^{-3}}=10,0\times10^{3}=10^{4},
\sqrt{\dfrac{I_{1}}{I_{\text{tranq}}}}=\sqrt{10^{4}}=100,
r = 30,0\\ \mathrm{m}\times100 = 3000\\ \mathrm{m}.
Logo, a distância mínima é \,3000\\ \mathrm{m} (ou 3,00\times10^{3}\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Resolver (b): sua amiga mora a 2 vezes a sua distância, então r_{\text{amiga}}=2r. A intensidade varia com 1/r^{2}, portanto:
I_{\text{amiga}} = I_{\text{sua}} \left(\dfrac{r}{r_{\text{amiga}}}\right)^{2} = I_{\text{sua}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{I_{\text{sua}}}{4}.
Como I_{\text{sua}}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}},
I_{\text{amiga}}=\dfrac{1,0\times10^{-3}}{4}=2,5\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Em unidades de \mathrm{mW/m^{2}} isto é 0,25\\ \mathrm{mW/m^{2}}.

Passo 6

Resolver (c): já calculado no Passo 3, mas repetir de forma direta e final:
A potência sonora emitida pelo jato é
P = 4\pi r^{2} I = 36000\pi\\ \mathrm{W} \approx 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) 3000\\ \mathrm{m}
(b) 2,5\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}} \;=\;0,25\\ \mathrm{mW/m^{2}}
(c) 1,13\times10^{5}\\ \mathrm{W}

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