Questão: Considerem a integral tripla
onde E é a região situada acima do cone
e dentro da esfera
,
(a) ( 5 pontos) Expresse a Integral
como uma Integral Iterada "
".
(b) ( 5 pontos) Expresse a Integral
como uma Integral Iterada em coordenadas cilíndricas
.
(c) (7 pontos) Calcule a Integral
usando coordenadas esféricas (
).
(a) ( 5 pontos) Expresse a Integral
(b) ( 5 pontos) Expresse a Integral
(c) (7 pontos) Calcule a Integral
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é a região no espaço situada acima do cone
e dentro da esfera
Vamos (a) escrever
como iterada em
, (b) em coordenadas cilíndricas e (c) calcular usando coordenadas esféricas.
Passo 2
Para escrever
em coordenadas cartesianas, projetamos
no plano
. Da interseção cone–esfera com
vem
Para cada
nesse disco,
varia de
isto é,
Logo
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
temos
,
,
. A projeção no plano
é
,
, e para dado
,
Assim
Passo 4
Em coordenadas esféricas
(com
medido do eixo
), vale
A esfera
vira
e o cone
é
. Logo
O integrando
fica
Portanto
Calculamos primeiro a integral em
:
Então
Use
,
:
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)