\mathbf{5}^{\mathbf{a}} Questão: (5 pontos) Mostre que a derivada do Vetor Binormal \frac{d}{d t} \vec{B} é perpendicular ao Vetor Tangente de uma curva no espaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma curva regular no espaço com vetor tangente \vec T, vetor normal \vec N e vetor binormal \vec B, a derivada \frac{d}{dt}\vec B é perpendicular a \vec T. Vamos usar cálculo vetorial elementar e as fórmulas de Frenet–Serret, em particular a ortogonalidade dos vetores da base e a relação \vec T'=\kappa\,\vec N.

Passo 2

Lembramos que o vetor binormal é definido por
\vec B = \vec T \times \vec N
e que, por propriedades do produto escalar e do produto vetorial, \vec T é sempre perpendicular a \vec B. Em notação de escalar:
\langle \vec T,\vec B\rangle = 0.

Passo 3

Diferenciamos em relação a t a identidade \langle \vec T,\vec B\rangle=0. Como derivada de escalar vale
\frac{d}{dt}\langle \vec T,\vec B\rangle = \langle \vec T',\vec B\rangle + \langle \vec T,\vec B'\rangle =0.

Passo 4

Pela fórmula de Frenet–Serret, \vec T'=\kappa\,\vec N, e sabemos que \vec N é perpendicular a \vec B. Assim,
\langle \vec T',\vec B\rangle = \kappa\,\langle \vec N,\vec B\rangle =0.
Logo do passo anterior fica
0 = \langle \vec T',\vec B\rangle + \langle \vec T,\vec B'\rangle = 0 + \langle \vec T,\vec B'\rangle,
isto é,
\langle \vec T,\vec B'\rangle = 0.

Passo 5

Concluímos que \langle \vec T,\tfrac{d}{dt}\vec B\rangle=0, ou seja, \frac{d}{dt}\vec B é perpendicular a \vec T.

Resposta

Como \langle \vec T,\tfrac{d}{dt}\vec B\rangle=0, a derivada do vetor binormal é perpendicular ao vetor tangente.

Exercícios relacionados