Questão: (5 pontos) Mostre que a derivada do Vetor Binormal
é perpendicular ao Vetor Tangente de uma curva no espaço.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma curva regular no espaço com vetor tangente
, vetor normal
e vetor binormal
, a derivada
é perpendicular a
. Vamos usar cálculo vetorial elementar e as fórmulas de Frenet–Serret, em particular a ortogonalidade dos vetores da base e a relação
.
Passo 2
Lembramos que o vetor binormal é definido por
e que, por propriedades do produto escalar e do produto vetorial,
é sempre perpendicular a
. Em notação de escalar:
Passo 3
Diferenciamos em relação a
a identidade
. Como derivada de escalar vale
Passo 4
Pela fórmula de Frenet–Serret,
, e sabemos que
é perpendicular a
. Assim,
Logo do passo anterior fica
isto é,
Passo 5
Concluímos que
, ou seja,
é perpendicular a
.
Resposta
Como
, a derivada do vetor binormal é perpendicular ao vetor tangente.