Q1. Analise as afirmações abaixo. E assinale a alternativa que representa a única * alternativa verdadeira.
(a) f_{y}(a, b)=\lim _{y \rightarrow b} \frac{f(a, y)-f(a, b)}{y-b}
(b) Existe uma função f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que f_{x}(x, y)=x+y^{2} e f_{y}(x, y)=x-y^{2}.
(c) f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}
(d) D_{\mathbf{k}} f(x, y, z)=f_{z}(x, y, z)
Apenas a alternativa (a) é a verdadeira.
As alternativas (c) e (d) são verdadeiras.
As alternativas (a) e (c) são verdadeiras
Apenas a alternativa (d) é a verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre derivadas parciais e derivada direcional. O que precisamos saber:
  • Definição de derivada parcial f_{y}(a,b).
  • Teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas mistas se as de segunda ordem são contínuas.
  • Notação f_{xy} como segunda derivada parcial.
  • Definição de derivada direcional D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}.

Passo 2

Verificamos (a). Por definição da derivada parcial em y no ponto (a,b) temos
f_{y}(a,b) =\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h} =\lim_{y\to b}\frac{f(a,y)-f(a,b)}{y-b},
portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisamos (b). Se f tivesse derivadas parciais contínuas de segunda ordem valeria
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(f_x) \quad\text{e}\quad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(f_y).
Aqui
f_x(x,y)=x+y^2\implies f_{xy}=2y, \quad f_y(x,y)=x-y^2\implies f_{yx}=1,
e 2y\neq1 em geral. Logo não existe tal f, (b) é falsa.

Passo 4

Analisamos (c). Por convenção de notação,
f_{xy} \quad\text{é exatamente}\quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}.é
Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisamos (d). A derivada direcional em direção a um vetor \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) é
D_{\mathbf{k}}f(x,y,z) =\nabla f\cdot\mathbf{k} =f_x\,k_x+f_y\,k_y+f_z\,k_z,
que só reduz a f_z se \mathbf{k}=(0,0,1). Como \mathbf{k} não foi especificado como o vetor unitário do eixo z, (d) é falsa em geral.

Resposta

As alternativas (a) e (c) são verdadeiras.

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