Q1. Analise as afirmações abaixo. E assinale a alternativa que representa a única * alternativa verdadeira.
(a)
(b) Existe uma função
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que
e
.
(c)
(d)
Apenas a alternativa (a) é a verdadeira.
As alternativas (c) e (d) são verdadeiras.
As alternativas (a) e (c) são verdadeiras
Apenas a alternativa (d) é a verdadeira.
(a)
(b) Existe uma função
(c)
(d)
Apenas a alternativa (a) é a verdadeira.
As alternativas (c) e (d) são verdadeiras.
As alternativas (a) e (c) são verdadeiras
Apenas a alternativa (d) é a verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre derivadas parciais e derivada direcional. O que precisamos saber:
- Definição de derivada parcial
. - Teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas mistas se as de segunda ordem são contínuas.
- Notação
como segunda derivada parcial. - Definição de derivada direcional
.
Passo 2
Verificamos (a). Por definição da derivada parcial em
no ponto
temos
portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisamos (b). Se
tivesse derivadas parciais contínuas de segunda ordem valeria
Aqui
e
em geral. Logo não existe tal
, (b) é falsa.
Passo 4
Analisamos (c). Por convenção de notação,
Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisamos (d). A derivada direcional em direção a um vetor
é
que só reduz a
se
. Como
não foi especificado como o vetor unitário do eixo
, (d) é falsa em geral.
Resposta
As alternativas (a) e (c) são verdadeiras.