\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão: (7 pontos) Seja \vec{F}(x, y)=(1+x y) e^{x y} \vec{i}+\left(e^{y}+x^{2} e^{x y}\right) \vec{j}
(a) \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é um campo gradiente (ou conservativo)?
(b) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C: \vec{r}(t)=\cos t \vec{i}+2 \operatorname{sen} t \vec{j}, para 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2.

Passo 1

Resumindo, temos o campo
\vec{F}(x,y) = (1+xy)e^{xy}\,\vec{i} \;+\;\bigl(e^y + x^2e^{xy}\bigr)\,\vec{j},
e precisamos:
(a) verificar se é campo gradiente (conservativo),
(b) calcular \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} ao longo da curva
\vec{r}(t)=(\cos t,\,2\sin t), 0\le t\le\pi/2.
O conteúdo envolve o teste \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e, se for conservativo, usar o teorema fundamental de gradiente.

Passo 2

Chamando
P(x,y)=(1+xy)e^{xy},\quad Q(x,y)=e^y + x^2e^{xy},
calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = x e^{xy} + (1+xy)\,x e^{xy} = x e^{xy}(2+xy),
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x e^{xy} + x^2y\,e^{xy} = x e^{xy}(2+xy).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}. Integramos
\frac{\partial f}{\partial x} = (1+xy)e^{xy} \quad\Longrightarrow\quad f(x,y)=\int(1+xy)e^{xy}\,dx = x e^{xy} + g(y).
Depois
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2e^{xy} + g'(y)\overset!=Q(x,y)=e^y + x^2e^{xy} \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=e^y,\;g(y)=e^y.
Logo
f(x,y)=x e^{xy}+e^y
é potencial de \vec{F}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para campos gradientes,
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r} = f\bigl(\vec{r}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-f\bigl(\vec{r}(0)\bigr).
Os pontos são
\vec{r}(0)=(1,0) e \vec{r}(\tfrac{\pi}{2})=(0,2).
Calculamos
f(1,0)=1\cdot e^{0}+e^0=2, \quad f(0,2)=0\cdot e^{0}+e^2=e^2,
logo
\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^2-2.

Resposta

(a) Sim, \vec{F} é conservativo.
(b) \displaystyle\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=e^2-2.

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