Questão: (7 pontos) Seja
(a)
é um campo gradiente (ou conservativo)?
(b) Calcule
, onde
, para
.
(a)
(b) Calcule
Passo 1
Resumindo, temos o campo
e precisamos:
(a) verificar se é campo gradiente (conservativo),
(b) calcular ao longo da curva
,
.
O conteúdo envolve o teste e, se for conservativo, usar o teorema fundamental de gradiente.
(a) verificar se é campo gradiente (conservativo),
(b) calcular
O conteúdo envolve o teste
Passo 2
Chamando
calculamos
Como
em todo
,
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
Depois
Logo
é potencial de
.
Passo 4
Pelo teorema fundamental para campos gradientes,
Os pontos são
e
.
Calculamos
Calculamos
logo
Resposta
(a) Sim,
é conservativo.
(b)
(b)