4^{\mathrm{a}} Questão: (7 pontos) Considerem a curva parametrizada C: \vec{r}(t)=\left(t, \frac{t^{2}}{2}, t+1\right). Mostre que \lim _{t \rightarrow \pm \infty} \kappa(t)=0 (ou seja, quando t \rightarrow \pm \infty a curva C torna-se cada vez mais “reta”.)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(t,\tfrac{t^2}{2},\,t+1\bigr)
e pede para mostrar que
\lim_{t\to\pm\infty}\kappa(t)=0,
onde \kappa(t) é a curvatura da curva. Para isso, vamos usar a fórmula clássica de curvatura em função de derivadas de \vec{r}(t):
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\|^3}.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de \vec{r}(t). Como
\vec{r}(t)=\bigl(t,\tfrac{t^2}{2},\,t+1\bigr),
temos
\vec{r}'(t)=\bigl(1,\,t,\,1\bigr), \qquad \vec{r}''(t)=\bigl(0,\,1,\,0\bigr).

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial \vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t). Usando a regra de Sarrus,
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & t & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} =(-1)\,\mathbf{i}-0\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k} =(-1,\,0,\,1).
Portanto,
\bigl\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\bigr\| =\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} =\sqrt{2},
que é constante.

Passo 4

Em seguida, calculamos o módulo de \vec{r}'(t):
\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{1^2+t^2+1^2} =\sqrt{t^2+2}.
Substituindo na fórmula da curvatura, obtemos
\kappa(t) =\frac{\sqrt{2}}{\bigl(\sqrt{t^2+2}\bigr)^3} =\frac{\sqrt{2}}{(t^2+2)^{3/2}}.

Passo 5

Por fim, basta observar o comportamento quando t\to\pm\infty. O denominador (t^2+2)^{3/2} cresce sem limite, logo
\lim_{t\to\pm\infty}\kappa(t) =\lim_{t\to\pm\infty}\frac{\sqrt{2}}{(t^2+2)^{3/2}} =0.

Resposta

\lim_{t\to\pm\infty}\kappa(t)=0.

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