4^{\mathrm{a}} Questão: (7 pontos) Considerem a curva parametrizada C: \vec{r}(t)=\left(t, \frac{t^{2}}{2}, t+1\right). Mostre que \lim _{t \rightarrow \pm \infty} \kappa(t)=0 (ou seja, quando t \rightarrow \pm \infty a curva C torna-se cada vez mais “reta”.)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(t,\tfrac{t^2}{2},\,t+1\bigr)
e pede para mostrar que
\lim_{t\to\pm\infty}\kappa(t)=0,
onde \kappa(t) é a curvatura da curva. Para isso, vamos usar a fórmula clássica de curvatura em função de derivadas de \vec{r}(t):