5 { }^{\text {a }} Questão : Determine a transformada inversa de
f(s)=\frac{15}{s^{2}+4 s+13}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
f(s)=\frac{15}{s^{2}+4s+13}.
O conteúdo envolvido é completar o quadrado no denominador e usar a forma conhecida
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Vamos reescrever o denominador completando o quadrado:
s^{2}+4s+13 = (s^{2}+4s+4)+9 = (s+2)^{2}+3^{2}.
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f(s)=\frac{15}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 3

Para usar a forma \displaystyle \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}, note que aqui b=3. Nosso numerador é 15, que podemos escrever como 3\cdot5. Assim,
f(s)=5\;\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Pela tabela de transformadas inversas, sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}\Bigr\}(t)=e^{-2t}\sin(3t).
Multiplicando por 5, obtemos a solução buscada.

Resposta

f(t)=5\,e^{-2t}\sin(3t),\quad t\ge0.

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