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Considere um fluido newtoniano e incompressivel escoando no interior de uma tubulação de diâmetro D, com fator de atrito f e comprimento L, a uma velocidade V com perda de carga total h_{T 1}. Se a velocidade for dobrada, mantidos D, f e L constantes, a nova perda de carga será de:

Escolha uma opção:

  • A.
    2 \times h_{T 1}
    ○ B.
    0,5 \times h_{\mathrm{T} 1}
    O C.
    8 \times h_{T 1}
  • D.
    4 \times h_{T 1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações: \n
\bullet Um fluido newtoniano e incompressível escoa em uma tubulação de diâmetro \,D, comprimento \,L, com fator de atrito \,f.\n
\bullet A velocidade inicial do escoamento é \,V e a perda de carga total correspondente é \,h_{T1}.\n
\bullet Mantêm-se D, f e L constantes, e a velocidade é dobrada (ou seja, passa a ser 2V).\n
Pedido: qual será a nova perda de carga (em função de \,h_{T1}) quando a velocidade for dobrada?

Passo 2

A fórmula que relaciona perda de carga por atrito em uma tubulação com as variáveis dadas é a equação de Darcy–Weisbach. Vou escrever ela e explicar cada termo. \n
h_T = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}
Explicação dos termos: \n
\bullet h_T é a perda de carga por unidade de peso (unidade de comprimento, por exemplo metros). \n
\bullet f é o fator de atrito adimensional (depende do regime de escoamento e da rugosidade, mas o enunciado diz que f permanece constante). \n
\bullet L é o comprimento da tubulação e D o diâmetro (ambos em comprimento). \n
\bullet V é a velocidade média do escoamento (m/s). \n
\bullet g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}). \n
Importante: a parte \dfrac{V^2}{2g} é o chamado “velocidade-head” (energia cinética por unidade de peso). Da equação fica claro que, para f, L, D e g constantes, a perda de carga depende do quadrado de V.

Passo 3

Escrevo a perda de carga inicial usando a fórmula acima: \n
h_{T1} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Para tornar a dependência explícita, posso considerar a constante comum \displaystyle C = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}, então \,h_T = C\,V^2. Assim fica evidente a proporcionalidade quadrática: se V for multiplicado por um fator k, então h_T será multiplicado por k^2.

Passo 4

Agora substituo a velocidade dobrada \,V' = 2V na fórmula e faço as contas passo a passo: \n
h_{T2} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{(2V)^2}{2g}.
Calculo (2V)^2 = 4V^2, então \n
h_{T2} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{4V^2}{2g} = 4\left(f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g}\right).
Reconhecendo o parêntese como h_{T1}, obtemos \n
h_{T2} = 4\,h_{T1}.

Passo 5

Interpretação intuitiva rápida: dobrar a velocidade quadruplica a energia cinética ( V^2 cresce por 2^2=4), e como a perda de carga é proporcional à energia cinética por unidade de peso, a perda de carga final é quatro vezes a inicial. Lembre que essa conclusão usa explicitamente que f permanece constante (como dito no enunciado). Se f variaria com V, seria necessário analisar a dependência de f, mas aqui isso não ocorre.

Resposta

D. 4 \times h_{T1}

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